Ache o volume (usando a definição [limite]) do sólido que está abaixo do plano z=2 y+x e acima do retângulo [0,1] times[0,1]. Refaça este exercício usando o Teorema de Fubini. Qual das duas maneiras é mais simples? R: 32.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado por cima pelo plano z=2y+x e por baixo pelo retângulo R=[0,1]times[0,1] no plano xy. Vamos primeiro usar a definição de integral dupla via limite de somas de Riemann e depois aplicar o Teorema de Fubini para comparar a simplicidade dos dois métodos.

Passo 2

Para usar a definição, particionamos o retângulo R em ntimes n sub-retângulos iguais de lados De<a x=De<a y=1/n. Em cada sub-retângulo escolhemos o ponto de amostragem (xi,yj) com
xi = in, yj=jn, i,j=1,2,dots,n
A soma de Riemann é
Vn ;=;sumi=1^nsumj=1^nf(xi,yj),De<a A ;=;sumi=1^nsumj=1^nl(xi+2yjr)1n^2
Separamos a soma:
sumi,j(xi+2yj) =sumi,jxi+2sumi,jyj =nsumi=1^n xi+2,nsumj=1^n yj
Como sumi=1^n xi=sumi=1^n tfracin=tfracn(n+1)2n=tfracn+12 e o mesmo para yj, temos
sumi,j(xi+2yj) =nn+12+2nn+12 =n(n+1)2+n(n+1) =32,n(n+1)
Logo
Vn =1n^2cdot32,n(n+1) =32l(1+1nr)
Passando ao limite ntoinfty, obtemos
V=limntoinftyVn=32

Passo 3

Agora pelo Teorema de Fubini, escrevemos
V=integral duplaR(x+2y),dA =integral0^1!!integral0^1(x+2y),dx,dy
Integramos primeiro em x:
integral0^1(x+2y),dx =integral0^1x,dx+2yintegral0^1dx =12+2y
Agora integramos em y:
integral0^1l(tfrac12+2yr)dy =12cdot1+y^2|0^1 =12+1 =32

Passo 4

Comparando os métodos, o uso do Teorema de Fubini é bem mais direto e exige menos contas do que passar pela definição de limite de somas de Riemann.

Resposta

32

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