Ache o volume (usando a definição [limite]) do sólido que está abaixo do plano
e acima do retângulo
. Refaça este exercício usando o Teorema de Fubini. Qual das duas maneiras é mais simples? R:
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado por cima pelo plano
e por baixo pelo retângulo
no plano
. Vamos primeiro usar a definição de integral dupla via limite de somas de Riemann e depois aplicar o Teorema de Fubini para comparar a simplicidade dos dois métodos.
Passo 2
Para usar a definição, particionamos o retângulo
em
sub-retângulos iguais de lados
. Em cada sub-retângulo escolhemos o ponto de amostragem
com
A soma de Riemann é
Separamos a soma:
Como
e o mesmo para
, temos
Logo
Passando ao limite
, obtemos
Passo 3
Agora pelo Teorema de Fubini, escrevemos
Integramos primeiro em
:
Agora integramos em
:
Passo 4
Comparando os métodos, o uso do Teorema de Fubini é bem mais direto e exige menos contas do que passar pela definição de limite de somas de Riemann.