Sob a ação do campo de forças F(x, y, z)=y^2 z imath+2 x y z jmath+x y^2 k uma partícula se move do ponto (1,0,1) ao ponto (1,1,1) ao longo de 3 caminhos:
(III) ao longo do caminho poligonal (1,0,1) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
vec F(x,y,z)=y^2z,vecimath+2xyz,vecjmath+xy^2,vec k
e pede o trabalho
W=integralCvec Fcdot dvec r
no caminho poligonal C de (1,0,1) a (1,1,1) via (0,0,1) e (0,1,1). Para cada segmento vamos: (i) parametrizar vec r(t), (ii) calcular dvec r, (iii) avaliar vec F em vec r(t), (iv) fazer integral vec Fcdot dvec r.

Passo 2

Segmento 1: de (1,0,1) a (0,0,1).
Parametrização
vec r1(t)=(1-t,0,1), 0<= t<=1,
logo
dvec r1=(-1,0,0),dt
Em vec r1(t) temos y=0, z=1, então
vec F(vec r1(t))=(0,0,0)
Logo
integralC1vec Fcdot dvec r =integral0^1(0,0,0)cdot(-1,0,0),dt=0

Passo 3

Segmento 2: de (0,0,1) a (0,1,1).
Parametrização
vec r2(t)=(0,t,1), 0<= t<=1,
então
dvec r2=(0,1,0),dt
Aqui x=0, z=1, logo
vec F(vec r2(t))=(t^2,0,0)
O produto escalar é
vec Fcdot dvec r2=t^2cdot0+0cdot1+0cdot0=0,
então
integralC2vec Fcdot dvec r=0

Passo 4

Segmento 3: de (0,1,1) a (1,1,1).
Parametrização
vec r3(t)=(t,1,1), 0<= t<=1,
logo
dvec r3=(1,0,0),dt
Em vec r3(t) temos y=1, z=1, x=t, então
vec F(vec r3(t))=l(1,2t,tr)
O produto escalar é
vec Fcdot dvec r3=1cdot1+2tcdot0+tcdot0=1,
e
integralC3vec Fcdot dvec r =integral0^11,dt=1

Passo 5

Somando todas as contribuições:
W=integralC1+integralC2+integralC3 =0+0+1=1

Resposta

O trabalho realizado no caminho poligonal é 1.

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