Considere a função f dada por
f(x)=sumn=0^+infty x^nn!
a) Qual o dominio de f ?
b) Mostre que f é contínua.
c) Justifique a igualdade
integral0^1 f(x) d x=sumn=0^+infty 1(n+1)!
d) Prove que, para todo x no dominio de f
f^prime(x)=sumn=1^+infty x^n-1(n-1)!=sumn=0^+infty x^nn!

Passo 1

O enunciado define
f(x)=sumn=0^+inftyx^nn!
e pede:
a) determinar o domínio de f;
b) mostrar que f é contínua;
c) justificar a troca de soma por integral para obter
integral0^1f(x),dx=sumn=0^infty1(n+1)!;
d) provar que a derivada pode ser tomada termo a termo, resultando em
f'(x)=sumn=1^inftyx^n-1(n-1)!=sumn=0^inftyx^nn!
Os conteúdos que vamos usar são: teste da razão para séries de potências, critério de Weierstrass (M-teste) para convergência uniforme, teoremas de troca de soma e integral e de diferenciação termo a termo para séries uniformemente convergentes.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a
an(x)=x^nn!.
Calculamos
L=limntoinfty|an+1(x)an(x)| =limntoinfty|x|^,n+1/(n+1)!|x|^n/n! =limntoinfty|x|n+1=0
Como L=0<1 para todo xinR, a série converge para todo x. Logo o domínio de f é
R

Passo 3

Para provar que f é contínua em R, note que em qualquer intervalo compacto [-R,R] valem as desigualdades
|x^nn!|<=R^nn!
Mas sumn=0^inftyR^nn!=e^R<infty, de modo que pelo critério de Weierstrass (M-teste) a série converge uniformemente em [-R,R]. Como cada termo x^n/n! é contínuo, o limite uniforme garante que f é contínua em [-R,R] e, como R era arbitrário, f é contínua em R.

Passo 4

No intervalo [0,1] temos também
|x^nn!|<=1^nn!,
e sum1/n!=e<infty, então a convergência é uniforme em [0,1]. Assim podemos trocar soma e integral:
integral0^1f(x),dx =integral0^1sumn=0^inftyx^nn!,dx =sumn=0^inftyintegral0^1x^nn!,dx =sumn=0^infty1n!cdot1n+1 =sumn=0^infty1(n+1)!

Passo 5

Para derivar termo a termo, observamos que a série das derivadas
sumn=1^inftyddxl(x^nn!r) =sumn=1^inftyn,x^n-1n! =sumn=1^inftyx^n-1(n-1)!
também converge uniformemente em cada compacto [-R,R] (pois seus termos são dominados por R^n-1/(n-1)! cuja soma é e^R). Pelo teorema de diferenciação termo a termo em séries uniformemente convergentes,
f'(x)=sumn=1^inftyx^n-1(n-1)!
Fazendo a mudança de índice k=n-1 obtemos
f'(x)=sumk=0^inftyx^kk! =f(x)

Resposta

a) O domínio de f é R.
b) f é contínua em R por convergência uniforme em compactos.
c)
integral0^1f(x),dx =sumn=0^infty1(n+1)!
d)
f'(x) =sumn=1^inftyx^n-1(n-1)! =sumn=0^inftyx^nn! =f(x)

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