a) Qual o dominio de ?
b) Mostre que f é contínua.
c) Justifique a igualdade
d) Prove que, para todo no dominio de
Passo 1
O enunciado define
e pede:
a) determinar o domínio de ;
b) mostrar que é contínua;
c) justificar a troca de soma por integral para obter
d) provar que a derivada pode ser tomada termo a termo, resultando em
Os conteúdos que vamos usar são: teste da razão para séries de potências, critério de Weierstrass (M-teste) para convergência uniforme, teoremas de troca de soma e integral e de diferenciação termo a termo para séries uniformemente convergentes.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão a .
Calculamos
Como L=0<1 para todo xinR, a série converge para todo x. Logo o domínio de f é
R
Passo 3
Para provar que f é contínua em R, note que em qualquer intervalo compacto [-R,R] valem as desigualdades
|x^nn!|<=R^nn!
Mas sumn=0^inftyR^nn!=e^R<infty, de modo que pelo critério de Weierstrass (M-teste) a série converge uniformemente em [-R,R]. Como cada termo x^n/n! é contínuo, o limite uniforme garante que f é contínua em [-R,R] e, como R era arbitrário, f é contínua em R.
Passo 4
No intervalo [0,1] temos também
|x^nn!|<=1^nn!,
e sum1/n!=e<infty, então a convergência é uniforme em [0,1]. Assim podemos trocar soma e integral:
também converge uniformemente em cada compacto [-R,R] (pois seus termos são dominados por R^n-1/(n-1)! cuja soma é e^R). Pelo teorema de diferenciação termo a termo em séries uniformemente convergentes,
f'(x)=sumn=1^inftyx^n-1(n-1)!
Fazendo a mudança de índice k=n-1 obtemos
f'(x)=sumk=0^inftyx^kk! =f(x)
Resposta
a) O domínio de f é R.
b) f é contínua em R por convergência uniforme em compactos.
c)