Achur derivades
a) y=(x^2+sen 2 x)^3 cdot e^raizx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y = (x^2 + sin 2x)^3 cdot e^raizx
Este é um exercício de derivadas que envolve a regra do produto, a regra da cadeia, derivada de função trigonométrica e de raiz quadrada, além da derivada de uma exponencial.

Passo 2

Vamos aplicar a regra do produto definindo
u = (x^2 + sin 2x)^3, v = e^raizx
A regra do produto diz que
y' = u'v + uv'

Passo 3

Para calcular u' usamos a regra da cadeia:
u = (x^2 + sin 2x)^3
dudx = 3(x^2 + sin 2x)^2 cdot ddx(x^2 + sin 2x) = 3(x^2 + sin 2x)^2 cdot (2x + 2cos 2x) = 6(x^2 + sin 2x)^2 (x + cos 2x)

Passo 4

Para calcular v' note que v = e^raizx também pede cadeia:
dvdx = e^raizx cdot ddx(raizx) = e^raizx cdot 12raizx = e^raizx2raizx

Passo 5

Agora montamos a derivada pelo produto:
y' = u'v + uv' = 6(x^2 + sin 2x)^2 (x + cos 2x) e^raizx + (x^2 + sin 2x)^3 cdot e^raizx2raizx

Passo 6

Se quiser, podemos fatorar e^raizx(x^2 + sin 2x)^2:
y' = e^raizx(x^2 + sin 2x)^2[6(x + cos 2x) + x^2 + sin 2x2raizx]

Resposta

y' = 6(x^2 + sin 2x)^2 (x + cos 2x) e^raizx , + , (x^2 + sin 2x)^32raizx,e^raizx

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