Em cada item, utilize a transformação dada para descrever por variação dos parâmetros a região do plano u v correspondente à região R do plano x y.
lx=raizuv y=raizu v e R é a região do primeiro quadrante limitada pelas equações x y=1, x y=4.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
x=raizuv e y=raizu v
e pede para descrever em termos de u,v a região R do plano x y definida por x>0, y>0 e limitada pelas hipérboles x y=1 e x y=4. Vamos usar transformações de variáveis para encontrar as equações que descrevem R no plano u v.

Passo 2

Para inverter a transformação, escrevemos
x^2=uvimplies u=vx^2
e
y^2=uvimplies y^2= (vx^2),v =v^2 x^2implies v=yx
Logo as variáveis inversas são
u=x y
v=yx

Passo 3

Agora aplicamos as condições da região R:
Como R tem 1 ≤ x y ≤ 4, isso vira diretamente
1<= u<= 4.
Além disso, por estarmos no primeiro quadrante ( x>0, y>0), resulta em v=tfracyx>0.

Passo 4

Não há outras fronteiras em R além de x y=1, x y=4 e dos sinais de x,y. Portanto, no plano u v a região equivalente é dada apenas por:
1<= u<= 4
e
v>0.

Resposta

A região transformada em variáveis u,v é:
1<= u<= 4, v>0.

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