Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada.
lx=e^u cos v y=e^u sen v.

Passo 1

Neste exercício temos a transformação de coordenadas definida por x=e^ucos v e y=e^usin v. O conteúdo é matriz jacobiana: vamos precisar lembrar a definição de matriz cujos elementos são derivadas parciais e, em seguida, calcular seu determinante.

Passo 2

A definição da matriz jacobiana para a transformação (u,v)mapsto(x,y) é dada por colocar nas entradas da matriz as derivadas parciais de x e y em relação a u e v. Precisamos, então, calcular: partial x/partial u, partial x/partial v, partial y/partial u e partial y/partial v.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais, temos
partial xpartial u=e^ucos v, partial xpartial v=-e^usin v, partial ypartial u=e^usin v, partial ypartial v=e^ucos v

Passo 4

Finalmente, montamos a matriz jacobiana e calculamos seu determinante. A matriz é
J(u,v)=e^ucos v & -e^usin v e^usin v & e^ucos v
e o jacobiano (determinante) é dado por
det J(u,v)=e^ucos vcdot e^ucos v - (-e^usin v)cdot(e^usin v)=e^2u(cos^2v+sin^2v)=e^2u

Resposta

Matriz jacobiana:
J(u,v)=e^ucos v & -e^usin v e^usin v & e^ucos v
Jacobiano:
det J(u,v)=e^2u

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