Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada.
lx=u^2+u v y=u v^2.

Passo 1

O enunciado pede para a transformação de variáveis dada por x = u^2 + uv e y = uv^2, encontrarmos a matriz jacobiana (ou seja, a matriz dos derivamentos parciais) e, em seguida, calcular o jacobiano (o determinante dessa matriz). Vamos usar definição de derivada parcial e depois a fórmula do determinante de matriz 2×2.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de x(u,v):
partial xpartial u = 2u + v, partial xpartial v = u

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de y(u,v):
partial ypartial u = v^2, partial ypartial v = 2uv

Passo 4

Formamos a matriz jacobiana J(u,v) colocando essas derivadas:
J(u,v) = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 2u + v & u v^2 & 2uv

Passo 5

Agora computamos o jacobiano, que é o determinante de J(u,v). Para uma matriz a & bc & d, temos ad - bc. Logo,
det J(u,v) = (2u + v)cdot(2uv) - ucdot v^2 = 4u^2v + 2uv^2 - uv^2 = uv,(4u + v)

Resposta

A matriz jacobiana é
J(u,v) = 2u + v & u v^2 & 2uv
e o jacobiano (determinante) é
det J(u,v) = uv,(4u + v)

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