Um acidente foi presenciado por
da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento
horas após é dado por
, onde
é a população da cidade. Sabendo-se que
da população soube do acidente 3 horas após o fato, responda:
a) Quanto tempo se passou para que
da população soubesse da notícia?
a) Quanto tempo se passou para que
Passo 1
O enunciado dá um modelo logístico para o número de pessoas que souberam do acidente:
, onde
é a população de Votuporanga. Sabemos também duas condições iniciais: no instante
quem soube foi
da população, e em
horas já era
. Vamos precisar usar essas duas informações para determinar as constantes
e
, e depois achar o tempo
tal que
.
Passo 2
Como em
o número de pessoas que sabe é
de
, temos
Cancelando
dos dois lados e invertendo, chega-se a
, logo
Passo 3
Em
horas conhecem a notícia
da população, ou seja
Novamente cancelamos
e igualamos denominadores:
. Daí
$$64e^{-3k}=8\quad\Rightarrow\quad e^{-3k}=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}.
Passo 4
Agora queremos
tal que
. Escrevendo
Cancelando
e rearranjando,
$$1+64e{-kt}=5\quad\Rightarrow\quad64e{-t\ln2}=4\quad\Rightarrow\quad e^{-t\ln2}=\tfrac{4}{64}=\tfrac{1}{16}.
Resposta
4 horas