Um acidente foi presenciado por 1 / 65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado por N(t)=B1+C e^-k t, onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1 / 9 da população soube do acidente 3 horas após o fato, responda:
a) Quanto tempo se passou para que 1 / 5 da população soubesse da notícia?

Passo 1

O enunciado dá um modelo logístico para o número de pessoas que souberam do acidente: N(t)=B1+C e^-k t, onde B é a população de Votuporanga. Sabemos também duas condições iniciais: no instante t=0 quem soube foi 1/65 da população, e em t=3 horas já era 1/9. Vamos precisar usar essas duas informações para determinar as constantes C e k, e depois achar o tempo t tal que N(t)=B/5.

Passo 2

Como em t=0 o número de pessoas que sabe é 1/65 de B, temos
N(0)=B1+C e^-kcdot0=B1+C=B65
Cancelando B dos dois lados e invertendo, chega-se a 1+C=65, logo
C=64

Passo 3

Em t=3 horas conhecem a notícia 1/9 da população, ou seja
N(3)=B1+64e^-3k=B9
Novamente cancelamos B e igualamos denominadores: 1+64e^-3k=9. Daí
$$64e^{-3k}=8\quad\Rightarrow\quad e^{-3k}=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}.
64e^-3k=8Rightarrow e^-3k=864=18 -3k=\ln\tfrac{1}{8}=-\ln8=-3\ln2$$ -3k=lntfrac18=-ln8=-3ln2

Passo 4

Agora queremos t tal que N(t)=B/5. Escrevendo
B1+64e^-kt=B5
Cancelando B e rearranjando,
$$1+64e{-kt}=5\quad\Rightarrow\quad64e{-t\ln2}=4\quad\Rightarrow\quad e^{-t\ln2}=\tfrac{4}{64}=\tfrac{1}{16}.
1+64e^-kt=5Rightarrow64e^-tln2=4Rightarrow e^-tln2=tfrac464=tfrac116 -t\ln2=\ln\tfrac{1}{16}=-\ln16=-4\ln2$$ -tln2=lntfrac116=-ln16=-4ln2

Resposta

4 horas

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