(Acidente Químico) O mesmo tanque do exercício anterior ( 1000 galões, 100 libras de sal inicial). Mas agora, devido a um erro, entra água com sal (concentração 2 \mathrm{lb} / \mathrm{galão)}ã a uma taxa de 5 galões / min \(. A saída continua 5 galões\)/
min. Qual a quantidade de sal após um tempo infinito (t \rightarrow \infty) ? Isso faz sentido fisicamente?

Passo 1

O enunciado pede claramente duas coisas:
  • Determinar a quantidade de sal no tanque quando t\to\infty.
  • Dizer se esse resultado faz sentido fisicamente.
Informações fornecidas (pego diretamente do enunciado):
  • Volume do tanque: 1000 galões (constante).
  • Quantidade inicial de sal: S(0)=100 libras.
  • Água de entrada com concentração 2 lb/gal entrando à taxa 5 gal/min.
  • Saída de líquido à taxa 5 gal/min.
  • Pressuposição usual (implícita em problemas de mistura): o conteúdo do tanque fica bem misturado, portanto a concentração instantânea no tanque é uniforme e igual a S(t)/1000 lb/gal.

Passo 2

Definir variáveis e taxas para não nos perder:
  • Seja S(t) a quantidade de sal (em libras) no tanque no tempo t medido em minutos.
  • Taxa de entrada de líquido: r_{\text{in}}=5 gal/min.
  • Concentração da entrada: c_{\text{in}}=2 lb/gal.
  • Taxa de saída de líquido: r_{\text{out}}=5 gal/min.
  • Volume do tanque: V=1000 gal (constante porque r_{\text{in}}=r_{\text{out}}).
  • Concentração dentro do tanque no tempo t: \dfrac{S(t)}{V}=\dfrac{S(t)}{1000} lb/gal.

Passo 3

Montar a equação de balanço (princípio: variação = entrada − saída).
  • Taxa de entrada de sal (lb/min):
\text{entrada} = r_{\text{in}}\cdot c_{\text{in}} = 5\cdot 2 = 10.
  • Taxa de saída de sal (lb/min): a concentração do tanque vezes a vazão de saída,
\text{saída} = r_{\text{out}}\cdot\frac{S(t)}{V} = 5\cdot\frac{S(t)}{1000} = \frac{1}{200}S(t).í
Portanto a equação diferencial para S(t) é
\frac{dS}{dt} = 10 - \frac{1}{200}S(t).

Passo 4

Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem. Colocar na forma padrão:
\frac{dS}{dt} + \frac{1}{200}S = 10.
Método do fator integrante:
  • O fator integrante é \mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{200}\,dt\right)=e^{t/200}.
  • Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
e^{t/200}\frac{dS}{dt} + \frac{1}{200}e^{t/200}S = 10e^{t/200}.
  • O lado esquerdo é a derivada de e^{t/200}S, logo
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t/200}S\bigr)=10e^{t/200}.
  • Integrando em t:
e^{t/200}S(t)=10\int e^{t/200}\,dt + C = 10\cdot 200\,e^{t/200}+C = 2000\,e^{t/200}+C.
  • Dividindo por e^{t/200} obtemos a solução geral:
S(t)=2000 + C e^{-t/200}.

Passo 5

Determinar a constante C usando a condição inicial S(0)=100:
100 = S(0) = 2000 + C\cdot e^{0} = 2000 + C \quad\Rightarrow\quad C = -1900.
Portanto a solução particular é
S(t)=2000 - 1900\,e^{-t/200}.

Passo 6

Calcular o limite quando t\to\infty. Como \displaystyle \lim_{t\to\infty} e^{-t/200}=0, obtemos
\lim_{t\to\infty} S(t) = 2000.
Logo, a quantidade de sal em t\to\infty é 2000 libras.

Passo 7

Interpretação física e check de consistência (por que isso faz sentido):
  • A concentração da entrada é 2 lb/gal. Com volume constante V=1000 gal, se o sistema atingir equilíbrio com a mesma concentração da entrada, a quantidade de sal em equilíbrio seria 2\cdot 1000=2000 lb — exatamente o que encontramos.
  • Intuição: enquanto a concentração no tanque for menor que 2 lb/gal, a entrada traz mais sal do que sai, então a quantidade de sal aumenta até igualar a concentração de entrada. Como as vazões são iguais, não há mudança de volume e o equilíbrio simples é atingir a concentração da corrente de entrada.
  • Escala de tempo: a constante de tempo do sistema é \tau=200 min (veja o expoente e^{-t/200}). Após algumas constantes de tempo (por exemplo 3\tau\approx600 min) o sistema já estará muito perto do equilíbrio.

Resposta

2000 lb
Sim. A concentração de equilíbrio é 2 lb/gal, portanto S(\infty)=2\cdot1000=2000 lb.

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