(Acidente Químico) O mesmo tanque do exercício anterior ( 1000 galões, 100 libras de sal inicial). Mas agora, devido a um erro, entra água com sal (concentração
a uma taxa de 5 galões
min. Qual a quantidade de sal após um tempo infinito
? Isso faz sentido fisicamente?
min. Qual a quantidade de sal após um tempo infinito
Passo 1
O enunciado pede claramente duas coisas:
- Determinar a quantidade de sal no tanque quando
. - Dizer se esse resultado faz sentido fisicamente.
Informações fornecidas (pego diretamente do enunciado):
- Volume do tanque:
galões (constante). - Quantidade inicial de sal:
libras. - Água de entrada com concentração
lb/gal entrando à taxa gal/min. - Saída de líquido à taxa
gal/min. - Pressuposição usual (implícita em problemas de mistura): o conteúdo do tanque fica bem misturado, portanto a concentração instantânea no tanque é uniforme e igual a
lb/gal.
Passo 2
Definir variáveis e taxas para não nos perder:
- Seja
a quantidade de sal (em libras) no tanque no tempo medido em minutos. - Taxa de entrada de líquido:
gal/min. - Concentração da entrada:
lb/gal. - Taxa de saída de líquido:
gal/min. - Volume do tanque:
gal (constante porque ). - Concentração dentro do tanque no tempo
: lb/gal.
Passo 3
Montar a equação de balanço (princípio: variação = entrada − saída).
- Taxa de entrada de sal (lb/min):
- Taxa de saída de sal (lb/min): a concentração do tanque vezes a vazão de saída,
Portanto a equação diferencial para
é
Passo 4
Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem. Colocar na forma padrão:
Método do fator integrante:
- O fator integrante é
- Multiplicando a equação por
obtemos
- O lado esquerdo é a derivada de
, logo
- Integrando em
:
- Dividindo por
obtemos a solução geral:
Passo 5
Determinar a constante
usando a condição inicial
:
Portanto a solução particular é
Passo 6
Calcular o limite quando
. Como
, obtemos
Logo, a quantidade de sal em
é
libras.
Passo 7
Interpretação física e check de consistência (por que isso faz sentido):
- A concentração da entrada é
lb/gal. Com volume constante gal, se o sistema atingir equilíbrio com a mesma concentração da entrada, a quantidade de sal em equilíbrio seria lb — exatamente o que encontramos. - Intuição: enquanto a concentração no tanque for menor que
lb/gal, a entrada traz mais sal do que sai, então a quantidade de sal aumenta até igualar a concentração de entrada. Como as vazões são iguais, não há mudança de volume e o equilíbrio simples é atingir a concentração da corrente de entrada. - Escala de tempo: a constante de tempo do sistema é
min (veja o expoente ). Após algumas constantes de tempo (por exemplo min) o sistema já estará muito perto do equilíbrio.
Resposta
Sim. A concentração de equilíbrio é