(Lago Poluído) Um lago de volume constante
recebe um fluxo de esgoto de
contendo
de um poluente tóxico. A água sai do lago na mesma vazão. Inicialmente o lago estava limpo. Determine a equação da massa de poluente
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- Volume do lago:
. - Vazão de entrada (e de saída):
. - Concentração do poluente no esgoto que entra:
. - Condição inicial: lago inicialmente limpo, ou seja
(onde é a massa de poluente no lago, em mg). - Suposição física importante (implícita no problema): mistura instantânea homogênea no lago — a concentração do poluente no escoamento de saída é igual à concentração média dentro do lago.
- Volume do lago:
- O que o enunciado pede:
- Determinar a equação da massa de poluente
ao longo do tempo.
- Determinar a equação da massa de poluente
Passo 2
Organizar unidades para trabalhar sem confusão (sempre importante em exercícios de mistura).
- Conversão útil:
. - Converter
para unidades compatíveis com em : - Converter o volume para litros (opcional, só para checar a massa total):
- Taxa relativa
(vai aparecer na equação):
Passo 3
Montar a equação de balanço de massa (ideia física, passo a passo).
- A massa de poluente no lago aumenta com o aporte (entrada) e diminui com o escoamento (saída).
- Taxa de entrada de massa (mg/h):
Explicando: tem unidade e ficou em , então o produto dá . - Taxa de saída de massa (mg/h): a concentração média no lago é
(mg por ), então - Balanço diferencial:
Passo 4
Colocar a EDO na forma padrão e explicar o método de solução (linear de primeira ordem).
- Escrever a equação em forma linear:
- Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo
, cujo método padrão é usar fator integrante ou reconhecer a solução estacionária + parte transitória exponencial. - Interpretação física rápida: a solução tende para o estado estacionário
dado por , ou seja Isso faz sentido: no equilíbrio a concentração no lago iguala a de entrada, então a massa é volume vezes concentração.
Passo 5
Resolver a EDO (integração com fator integrante, mostrando os passos).
- Fator integrante:
- Multiplicando a equação por
: O lado esquerdo é a derivada do produto: - Integrando em
: Fazer a integral: - Portanto
e isolando :
Passo 6
Aplicar a condição inicial e obter a solução final numérica.
- Condição inicial
implica - Substituindo:
- Agora substituir os valores numéricos já convertidos:
-
, -
, -
.
-
- Então
- Comentário útil: a concentração no lago em
é que parte de e tende para quando .