(Lago Poluído) Um lago de volume constante V=10.000 m^{3} recebe um fluxo de esgoto de 50 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} contendo 10 \mathrm{mg} / \mathrm{L} de um poluente tóxico. A água sai do lago na mesma vazão. Inicialmente o lago estava limpo. Determine a equação da massa de poluente A(t).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Volume do lago: V=10.000\\ \mathrm{m}^3.
    • Vazão de entrada (e de saída): Q=50\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
    • Concentração do poluente no esgoto que entra: c_{\text{in}}=10\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.
    • Condição inicial: lago inicialmente limpo, ou seja A(0)=0 (onde A(t) é a massa de poluente no lago, em mg).
    • Suposição física importante (implícita no problema): mistura instantânea homogênea no lago — a concentração do poluente no escoamento de saída é igual à concentração média dentro do lago.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a equação da massa de poluente A(t) ao longo do tempo.

Passo 2

Organizar unidades para trabalhar sem confusão (sempre importante em exercícios de mistura).
  • Conversão útil: 1\\ \mathrm{m}^3 = 1000\\ \mathrm{L}.
  • Converter c_{\text{in}} para unidades compatíveis com V em \mathrm{m}^3: c_{\text{in}} = 10\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L} = 10\cdot 1000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3 = 10.000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3.
  • Converter o volume para litros (opcional, só para checar a massa total): V = 10.000\\ \mathrm{m}^3 = 10.000\cdot 1000\\ \mathrm{L} = 10.000.000\\ \mathrm{L}.
  • Taxa relativa Q/V (vai aparecer na equação): \frac{Q}{V}=\frac{50\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}}{10.000\\ \mathrm{m}^3}=\frac{50}{10.000}=0{,}005\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 3

Montar a equação de balanço de massa (ideia física, passo a passo).
  • A massa de poluente no lago aumenta com o aporte (entrada) e diminui com o escoamento (saída).
  • Taxa de entrada de massa (mg/h): \text{entrada} = Q\cdot c_{\text{in}}.Explicando: Q tem unidade \mathrm{m}^3/\mathrm{h} e c_{\text{in}} ficou em \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3, então o produto dá \mathrm{mg}/\mathrm{h}.
  • Taxa de saída de massa (mg/h): a concentração média no lago é c(t)=\dfrac{A(t)}{V} (mg por \mathrm{m}^3), então \text{saída} = Q\cdot c(t) = Q\cdot \frac{A(t)}{V}.í
  • Balanço diferencial: \frac{dA}{dt} = \text{entrada} - \text{saída} = Q\,c_{\text{in}} - Q\frac{A(t)}{V}.í

Passo 4

Colocar a EDO na forma padrão e explicar o método de solução (linear de primeira ordem).
  • Escrever a equação em forma linear: \frac{dA}{dt} + \frac{Q}{V}A = Q\,c_{\text{in}}.
  • Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo \dfrac{dA}{dt}+pA=r, cujo método padrão é usar fator integrante ou reconhecer a solução estacionária + parte transitória exponencial.
  • Interpretação física rápida: a solução tende para o estado estacionário A_{\infty} dado por 0 = Q c_{\text{in}} - Q \dfrac{A_{\infty}}{V}, ou seja A_{\infty} = V\,c_{\text{in}}.Isso faz sentido: no equilíbrio a concentração no lago iguala a de entrada, então a massa é volume vezes concentração.

Passo 5

Resolver a EDO (integração com fator integrante, mostrando os passos).
  • Fator integrante: \mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{Q}{V}\,dt\right)=e^{(Q/V)t}.
  • Multiplicando a equação por \mu(t): e^{(Q/V)t}\frac{dA}{dt} + \frac{Q}{V}e^{(Q/V)t}A = Q c_{\text{in}} e^{(Q/V)t}.O lado esquerdo é a derivada do produto: \frac{d}{dt}\left(e^{(Q/V)t}A\right)=Q c_{\text{in}} e^{(Q/V)t}.
  • Integrando em t: e^{(Q/V)t}A(t)=\int Q c_{\text{in}} e^{(Q/V)t}\,dt + C.Fazer a integral: \int Q c_{\text{in}} e^{(Q/V)t}\,dt = Q c_{\text{in}}\cdot\frac{V}{Q} e^{(Q/V)t} = V c_{\text{in}} e^{(Q/V)t}.
  • Portanto e^{(Q/V)t}A(t)=V c_{\text{in}} e^{(Q/V)t} + Ce isolando A(t): A(t)=V c_{\text{in}} + C e^{-(Q/V)t}.

Passo 6

Aplicar a condição inicial e obter a solução final numérica.
  • Condição inicial A(0)=0 implica 0 = V c_{\text{in}} + C \quad\Rightarrow\quad C=-V c_{\text{in}}.
  • Substituindo: A(t)=V c_{\text{in}}\left(1 - e^{-(Q/V)t}\right).
  • Agora substituir os valores numéricos já convertidos:
    • V=10.000\\ \mathrm{m}^3,
    • c_{\text{in}}=10.000\\ \mathrm{mg}/\mathrm{m}^3,
    • \dfrac{Q}{V}=0{,}005\\ \mathrm{h}^{-1}.
  • Então A(t)=\left(10.000\cdot 10.000\right)\left(1-e^{-0{,}005\,t}\right)\\ \mathrm{mg} =1\times 10^{8}\left(1-e^{-0{,}005\,t}\right)\\ \mathrm{mg}.
  • Comentário útil: a concentração no lago em \mathrm{mg}/\mathrm{L} é c(t)=\frac{A(t)}{V}=10\left(1-e^{-0{,}005\,t}\right)\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L},que parte de 0 e tende para 10\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L} quando t\to\infty.

Resposta

A(t)=1\times10^{8}\left(1-e^{-0{,}005\,t}\right)\\ \mathrm{mg}

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