(Variação de Volume - Desafio) Um tanque tem 500 litros de água pura. Entra salmoura (2 \mathrm{~g} / \mathrm{L}) a uma taxa de 5 \mathrm{~L} /
min. A torneira de saída, porém, está entupida e sai apenas 1 \mathrm{~L} / \mathrm{min}.
  • A) Escreva a expressão do Volume V(t). (Dica: Volume não é mais constante).
  • B) Monte a EDO para a quantidade de sal A(t).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas as unidades em litros, minutos e gramas):
  • Volume inicial de água pura: V(0)=500 L.
  • Entra salmoura com concentração 2\\ \mathrm{g/L} à taxa de 5\\ \mathrm{L/min}.
  • Sai água pela torneira à taxa de 1\\ \mathrm{L/min} (torneira entupida).
    O enunciado pede:
  • (A) escrever a expressão do volume V(t) em função do tempo t;
  • (B) montar a EDO que governa a quantidade de sal A(t) (em gramas) no tanque.
    Nada mais é pedido explicitamente (por exemplo, não foi pedido resolver a EDO para A(t)), então aqui vamos montar o modelo passo a passo.

Passo 2

Definir as incógnitas e unidades (muito importante para modelar corretamente):
  • V(t) = volume de líquido no tanque em litros no instante t (minutos).
  • A(t) = quantidade de sal no tanque em gramas no instante t.
    Relembre a ideia-chave para problemas de mistura: variação da quantidade = taxa entrando − taxa saindo. Para o volume, a variação é simplesmente taxa de entrada de líquido menos taxa de saída de líquido.

Passo 3

Montar a equação para o volume V(t).
  • Taxa de entrada de líquido: 5\\ \mathrm{L/min}.
  • Taxa de saída de líquido: 1\\ \mathrm{L/min}.
    Portanto a variação do volume é
\frac{dV}{dt}=5-1=4\quad(\mathrm{L/min}).
Isto é uma EDO muito simples (constante): integramos com a condição inicial V(0)=500. Integrando,
V(t)=500+4t\quad(\mathrm{L}).
Observação prática: essa expressão vale enquanto o tanque não transbordar; como o enunciado não dá capacidade máxima, assumimos capacidade suficiente para o intervalo de interesse.

Passo 4

Modelagem para a quantidade de sal A(t).
Aplicando a fórmula geral:
\frac{dA}{dt}=\text{(taxa de sal entrando)}-\text{(taxa de sal saindo)}.
Agora vamos calcular cada termo separadamente, explicando a ideia de concentração.

Passo 5

Cálculo da taxa de sal entrando.
  • Concentração da salmoura que entra: 2\\ \mathrm{g/L}.
  • Vazão de entrada: 5\\ \mathrm{L/min}.
    Logo a taxa de entrada de sal (em g/min) é
\text{entrada}= (2\\ \mathrm{g/L})\times(5\\ \mathrm{L/min})=10\\ \mathrm{g/min}.
Esse é um termo constante porque a salmoura que entra tem concentração e vazão constantes.

Passo 6

Cálculo da taxa de sal saindo.
  • A concentração do líquido no tanque no tempo t é \dfrac{A(t)}{V(t)} em \mathrm{g/L} (quantidade dividida pelo volume).
  • Vazão de saída: 1\\ \mathrm{L/min}.
    Então a taxa de saída de sal (em g/min) é
\text{saída} = \left(\frac{A(t)}{V(t)}\right)\times 1 = \frac{A(t)}{V(t)}\\ \mathrm{g/min}.í
Lembrando que já encontramos V(t)=500+4t, então explicitamente
\text{saída} = \frac{A(t)}{500+4t}.í

Passo 7

Montar a EDO completa para A(t). Substituindo entrada e saída na fórmula geral,
\frac{dA}{dt}=10-\frac{A(t)}{500+4t}.
Esta é a EDO solicitada: é uma equação diferencial de primeira ordem linear na forma
\frac{dA}{dt}+\frac{1}{500+4t}\,A=10.
Explicação breve sobre o tipo de equação: é linear porque aparece A e suas derivadas de forma linear (sem potências ou produtos como A^2 ou A\cdot \frac{dA}{dt}). Se quiser resolver em prova, usa-se o fator integrante \mu(t)=\exp\!\big(\int \frac{1}{500+4t}\,dt\big)=(500+4t)^{1/4} e procede-se multiplicando a equação por \mu(t) para integrar ambos os lados — se precisar, eu te mostro a resolução completa passo a passo.

Resposta

V(t)=500+4t L\n
\displaystyle \frac{dA}{dt}=10-\frac{A(t)}{500+4t} (g/min)

Exercícios relacionados