(Variação de Volume - Desafio) Um tanque tem 500 litros de água pura. Entra salmoura
a uma taxa de
min. A torneira de saída, porém, está entupida e sai apenas
.
- A) Escreva a expressão do Volume
. (Dica: Volume não é mais constante).
- B) Monte a EDO para a quantidade de sal
.
min. A torneira de saída, porém, está entupida e sai apenas
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas as unidades em litros, minutos e gramas):
- Volume inicial de água pura:
L. - Entra salmoura com concentração
à taxa de . - Sai água pela torneira à taxa de
(torneira entupida).
O enunciado pede: - (A) escrever a expressão do volume
em função do tempo ; - (B) montar a EDO que governa a quantidade de sal
(em gramas) no tanque.
Nada mais é pedido explicitamente (por exemplo, não foi pedido resolver a EDO para), então aqui vamos montar o modelo passo a passo.
Passo 2
Definir as incógnitas e unidades (muito importante para modelar corretamente):
-
= volume de líquido no tanque em litros no instante (minutos). -
= quantidade de sal no tanque em gramas no instante .
Relembre a ideia-chave para problemas de mistura: variação da quantidade = taxa entrando − taxa saindo. Para o volume, a variação é simplesmente taxa de entrada de líquido menos taxa de saída de líquido.
Passo 3
Montar a equação para o volume
.
- Taxa de entrada de líquido:
. - Taxa de saída de líquido:
.
Portanto a variação do volume é
Isto é uma EDO muito simples (constante): integramos com a condição inicial
. Integrando,
Observação prática: essa expressão vale enquanto o tanque não transbordar; como o enunciado não dá capacidade máxima, assumimos capacidade suficiente para o intervalo de interesse.
Passo 4
Modelagem para a quantidade de sal
.
Aplicando a fórmula geral:
Aplicando a fórmula geral:
Agora vamos calcular cada termo separadamente, explicando a ideia de concentração.
Passo 5
Cálculo da taxa de sal entrando.
- Concentração da salmoura que entra:
. - Vazão de entrada:
.
Logo a taxa de entrada de sal (em g/min) é
Esse é um termo constante porque a salmoura que entra tem concentração e vazão constantes.
Passo 6
Cálculo da taxa de sal saindo.
- A concentração do líquido no tanque no tempo
é em (quantidade dividida pelo volume). - Vazão de saída:
.
Então a taxa de saída de sal (em g/min) é
Lembrando que já encontramos
, então explicitamente
Passo 7
Montar a EDO completa para
. Substituindo entrada e saída na fórmula geral,
Esta é a EDO solicitada: é uma equação diferencial de primeira ordem linear na forma
Explicação breve sobre o tipo de equação: é linear porque aparece
e suas derivadas de forma linear (sem potências ou produtos como
ou
). Se quiser resolver em prova, usa-se o fator integrante
e procede-se multiplicando a equação por
para integrar ambos os lados — se precisar, eu te mostro a resolução completa passo a passo.