Num acidente rodoviário, após ouvir várias testemunhas, concluiu-se que o motorista culpado pelo acidente dirigia um carro cuja placa era constituída de 2 vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o 5. Sabendo que a placa em questão está no “padrão antigo”: LLLNNNN, onde cada letra (L) é escolhida do alfabeto completo ( 26 letras, com 5 vogais e 21 consoantes) e, cada número ( N ), do conjunto de algarismos \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}; isso não facilitou o trabalho da polícia, pois o número de placas suspeitas é bem grande. Qual a quantidade de placas suspeitas encontrada?

Passo 1

O enunciado usa o “padrão antigo” de placa LLLNNNN (3 letras seguidas de 4 dígitos). Ficou apurado que, entre as 3 letras, havia exatamente 2 vogais distintas (logo, a terceira é uma consoante) e, nos 4 dígitos, todos são diferentes com o algarismo das unidades valendo 5. Para contar o total de placas suspeitas, vamos separar em duas partes: montagem das letras e montagem dos dígitos, e ao final multiplicar os resultados (princípio fundamental da contagem).

Passo 2

Contagem das letras:
– Escolher as 2 posições das vogais entre as 3 letras: \displaystyle \binom{3}{2}=3.
– Escolher quais são as 2 vogais distintas entre as 5: \displaystyle \binom{5}{2}=10.
– Permutar essas 2 vogais nas 2 posições: 2!=2.
– Para a posição restante, escolher 1 consoante entre as 21: 21.
Portanto, o total de arranjos de letras é
\binom{3}{2}\times\binom{5}{2}\times2!\times21 =3\times10\times2\times21 =1260.

Passo 3

Contagem dos dígitos:
– A unidade está fixa em 5.
– Os outros 3 dígitos devem ser distintos entre si e diferentes de 5, escolhendo-se e ordenando-se 3 de entre os 9 restantes:
\mathrm{P}(9,3)=9\times8\times7=504.

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, o total de placas é
1260\times504=635040.

Resposta

635040

Exercícios relacionados