Quantos números de 4 algarismos são maiores do que 3500 e:
a) Têm todos os algarismos distintos?
b) Não têm algarismos iguais a 1, 3 ou 5?
c) Têm as propriedades dos itens a) e b) simultaneamente?
a) Têm todos os algarismos distintos?
b) Não têm algarismos iguais a 1, 3 ou 5?
c) Têm as propriedades dos itens a) e b) simultaneamente?
Passo 1
Queremos contar números de quatro algarismos maiores que 3500, usando contagem por casos e princípios de contagem (permutação sem e com repetição). Em todos os itens a primeira casa decimal (milhar) não pode ser zero, e o número deve ser
.
Passo 2
(a) “Todos os algarismos distintos.”
Dividimos em dois casos conforme o milhar:
Dividimos em dois casos conforme o milhar:
- Milhar igual a
. Então o número vai de 3501 a 3999, mas como queremos todos os dígitos distintos:
- Se o segundo algarismo (centena) é maior que
(isto é, em ), temos 4 escolhas para esse algarismo; para as dezenas sobraram dígitos e para as unidades . Total
- Se o segundo algarismo é exatamente
, temos 1 escolha, e para as dezenas opções, para as unidades . Total
Somando, para milhar
:
- Milhar em
. Aqui qualquer número já fica . São 6 escolhas para o milhar; depois, para a centena escolhas (exclui o milhar), para a dezena escolhas e para a unidade escolhas. Total
Portanto, no total do item (a):
Passo 3
(b) “Não têm algarismos iguais a
,
ou
.”
O conjunto de dígitos permitidos é
O conjunto de dígitos permitidos é
com
elementos, mas o milhar não pode ser zero nem conter
. Além disso, tem de ser
:
- Milhar em
(5 escolhas): todo número fica . - Para cada um desses, as outras três casas podem ser quaisquer dos
dígitos permitidos (repetição é aceita). Então
Passo 4
(c) “Propriedades dos itens (a) e (b) simultaneamente.”
Agora usamos apenas dígitos de
Agora usamos apenas dígitos de
sem repetição, milhar em
(5 escolhas) para garantir
. Depois temos permutações sem repetição nas demais casas: para as dezenas sobraram 6 dígitos, para as dezenas-unidades sobraram 5 e 4. Assim, para cada milhar:
Multiplicando pelos 5 valores do milhar:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)