Quantos números de 4 algarismos são maiores do que 3500 e:
a) Têm todos os algarismos distintos?
b) Não têm algarismos iguais a 1, 3 ou 5?
c) Têm as propriedades dos itens a) e b) simultaneamente?

Passo 1

Queremos contar números de quatro algarismos maiores que 3500, usando contagem por casos e princípios de contagem (permutação sem e com repetição). Em todos os itens a primeira casa decimal (milhar) não pode ser zero, e o número deve ser >3500.

Passo 2

(a) “Todos os algarismos distintos.”
Dividimos em dois casos conforme o milhar:
  • Milhar igual a 3. Então o número vai de 3501 a 3999, mas como queremos todos os dígitos distintos:
  1. Se o segundo algarismo (centena) é maior que 5 (isto é, em \{6,7,8,9\}), temos 4 escolhas para esse algarismo; para as dezenas sobraram 10-2=8 dígitos e para as unidades 10-3=7. Total
4 \times 8 \times 7 = 224.
  1. Se o segundo algarismo é exatamente 5, temos 1 escolha, e para as dezenas 10-2=8 opções, para as unidades 10-3=7. Total
1 \times 8 \times 7 = 56.
Somando, para milhar =3:
224 + 56 = 280.
  • Milhar em \{4,5,6,7,8,9\}. Aqui qualquer número já fica >3500. São 6 escolhas para o milhar; depois, para a centena 9 escolhas (exclui o milhar), para a dezena 8 escolhas e para a unidade 7 escolhas. Total
6 \times 9 \times 8 \times 7 = 3024.
Portanto, no total do item (a):
3304 = 280 + 3024.

Passo 3

(b) “Não têm algarismos iguais a 1, 3 ou 5.”
O conjunto de dígitos permitidos é
\{0,2,4,6,7,8,9\},
com 7 elementos, mas o milhar não pode ser zero nem conter 1,3,5. Além disso, tem de ser >3500:
  • Milhar em \{4,6,7,8,9\} (5 escolhas): todo número fica >3500.
  • Para cada um desses, as outras três casas podem ser quaisquer dos 7 dígitos permitidos (repetição é aceita). Então
5 \times 7^3 = 5 \times 343 = 1715.

Passo 4

(c) “Propriedades dos itens (a) e (b) simultaneamente.”
Agora usamos apenas dígitos de
\{0,2,4,6,7,8,9\},
sem repetição, milhar em \{4,6,7,8,9\} (5 escolhas) para garantir >3500. Depois temos permutações sem repetição nas demais casas: para as dezenas sobraram 6 dígitos, para as dezenas-unidades sobraram 5 e 4. Assim, para cada milhar:
6 \times 5 \times 4 = 120.
Multiplicando pelos 5 valores do milhar:
5 \times 120 = 600.

Resposta

a) 3304
b) 1715
c) 600

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