O ácido acético \left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}\right) tem um p K_{a} de 4.76. Calcule o K_{a} do ácido acético.

Passo 1

O enunciado dá o valor de pK_a do ácido acético e pede o K_a. Informações relevantes:
  • Dado: pK_a = 4,76.
  • Pedido: calcular K_a.

Passo 2

Vamos lembrar da definição que relaciona pK_a e K_a. Por definição,
pK_a = -\log_{10} K_a.
Aqui \log_{10} significa logaritmo na base 10; ou seja, \log_{10} x é o número cuja potência de 10 dá x. Para isolar K_a fazemos as operações algébricas inversas: multiplicamos por -1 e aplicamos a função exponencial base 10. Assim,
-\;pK_a = \log_{10} K_a
e elevando 10 em ambos os lados:
K_a = 10^{-pK_a}.
Essa é a fórmula prática: para obter K_a basta calcular 10 elevado a -pK_a.

Passo 3

Substituímos o valor numérico de pK_a:
K_a = 10^{-4,76}.
Para facilitar a conta manual, escrevemos o expoente como a soma de uma parte inteira e uma fração:
-4,76 = -5 + 0,24,
então
10^{-4,76} = 10^{-5}\cdot 10^{0,24}.
Agora precisamos avaliar 10^{0,24} e multiplicar por 10^{-5}.

Passo 4

Para calcular 10^{0,24} podemos usar a relação com o logaritmo natural:
10^{0,24} = e^{0,24\ln 10}.
Usando \ln 10 \approx 2,302585, temos
0,24\ln 10 \approx 0,24\times 2,302585 \approx 0,5526204.
Agora calculamos e^{0,5526204}. Uma maneira simples de aproximar é decompor:
e^{0,5526204} = e^{0,5}\cdot e^{0,0526204}.
Sabemos e^{0,5}\approx 1,64872. Para e^{0,0526204} usamos a expansão de série truncada (ou uma aproximação por binômio):
e^{0,0526204}\approx 1 + 0,0526204 + \tfrac{(0,0526204)^2}{2} \approx 1 + 0,0526204 + 0,001385 \approx 1,054005.
Multiplicando:
10^{0,24} \approx 1,64872\times 1,054005 \approx 1,7378.

Passo 5

Agora voltamos ao K_a:
K_a = 10^{-5}\cdot 1,7378 \approx 1,7378\times 10^{-5}.
Arredondando com três algarismos significativos (suficiente para a maioria das provas de química analítica), obtemos
K_a \approx 1,74\times 10^{-5}.
O K_a é adimensional (constante de equilíbrio).

Resposta

1,74\times 10^{-5}

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