A 400 \mathrm{~K}, K_{P}^{\circ}=36 para a reação \mathrm{N}_{2}(g)+3 \mathrm{H}_{2}(g) \rightleftharpoons 2 \mathrm{NH}_{3}(g). Determine os números de mols de todas as espécies no equilíbrio se os números de mols vistos a seguir são colocadas em um recipiente de 2,00 \mathrm{~L} a 400 K , juntamente com um catalisador.
0,200 \mathrm{~mol} de \mathrm{N}_{2}, 0,300 \mathrm{~mol} de \mathrm{H}_{2} e 0,100 \mathrm{~mol} de \mathrm{NH}_{3}.

Passo 1

O enunciado dá a reação
\mathrm{N}_2(g)+3\mathrm{H}_2(g)\rightleftharpoons 2\mathrm{NH}_3(g)
a T=400\\ \mathrm{K} com K_P^\circ=36. Foi colocada num recipiente de V=2{,}00\\ \mathrm{L} a mesma temperatura e com as quantidades iniciais
n_{0}(\mathrm{N}_2)=0{,}200\\ \mathrm{mol},\quad n_{0}(\mathrm{H}_2)=0{,}300\\ \mathrm{mol},\quad n_{0}(\mathrm{NH}_3)=0{,}100\\ \mathrm{mol}.
Pede-se: determinar os números de mols de todas as espécies no equilíbrio.
Informações relevantes listadas:
  • constante de equilíbrio em pressão: K_P^\circ=36 (a 400\\ \mathrm{K});
  • volume do recipiente: V=2{,}00\\ \mathrm{L};
  • quantidades iniciais n_0 dadas acima;
  • o sistema contém um catalisador (isso só acelera o alcance do equilíbrio — não altera K_P nem a posição final).

Passo 2

Entender como usar K_P com números de mols: Para gases ideais a pressão parcial de cada espécie é
P_i=\frac{n_iRT}{V},
onde:
  • P_i é a pressão parcial da espécie i;
  • n_i é o número de mols da espécie i;
  • R é a constante dos gases ideais;
  • T é a temperatura em kelvin;
  • V é o volume do recipiente.
A expressão de K_P para a reação é
K_P=\frac{P_{\mathrm{NH}_3}^2}{P_{\mathrm{N}_2}\,P_{\mathrm{H}_2}^3}.
Substituindo P_i=\dfrac{n_iRT}{V} obtemos (note a potência resultante):
K_P=\frac{\big(\dfrac{n_{\mathrm{NH}_3}RT}{V}\big)^2}{\big(\dfrac{n_{\mathrm{N}_2}RT}{V}\big)\big(\dfrac{n_{\mathrm{H}_2}RT}{V}\big)^3} =\bigg(\frac{RT}{V}\bigg)^{2-1-3}\frac{n_{\mathrm{NH}_3}^2}{n_{\mathrm{N}_2}\,n_{\mathrm{H}_2}^3}.
Como 2-1-3=-2, rearranjando:
\frac{n_{\mathrm{NH}_3}^2}{n_{\mathrm{N}_2}\,n_{\mathrm{H}_2}^3}=K_P\bigg(\frac{RT}{V}\bigg)^2.
Esta é a relação que liga os números de mols no equilíbrio com K_P no caso de volume fixo.

Passo 3

Escolher uma variável de avanço da reação: seja x o avanço no sentido da formação de amônia (ou seja, reação indo para a direita). Pelo coeficiente estequiométrico:
  • \mathrm{N}_2: consome 1 mol por avanço x n_{\mathrm{N}_2}=0{,}200-x.
  • \mathrm{H}_2: consome 3 mol por avanço x n_{\mathrm{H}_2}=0{,}300-3x.
  • \mathrm{NH}_3: forma 2 mol por avanço x n_{\mathrm{NH}_3}=0{,}100+2x.
Restrição física: todas as quantidades no equilíbrio devem ser ≥0. Em particular n_{\mathrm{H}_2}=0{,}300-3x\ge0 implica x\le0{,}100.

Passo 4

Calcular o fator numérico \big(\dfrac{RT}{V}\big): usamos R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}, T=400\\ \mathrm{K} e V=2{,}00\\ \mathrm{L}.
\frac{RT}{V}=\frac{0{,}082057\cdot 400}{2{,}00}=16{,}41\\ \mathrm{atm}\quad(\text{arredondado})
Agora
\bigg(\frac{RT}{V}\bigg)^2=(16{,}41)^2\approx 269{,}33.
Multiplicando por K_P:
C\equiv K_P\bigg(\frac{RT}{V}\bigg)^2=36\cdot 269{,}33\approx 9696{,}0.
Portanto a equação de equilíbrio em função de x fica
\frac{(0{,}100+2x)^2}{(0{,}200-x)\,(0{,}300-3x)^3}=9696{,}0.

Passo 5

Transformar em equação para resolver numericamente: multiplico ambos os lados pelo denominador:
(0{,}100+2x)^2-9696{,}0\,(0{,}200-x)\,(0{,}300-3x)^3=0.
Esta é uma equação não linear (alto grau) em x. Vamos encontrar a raiz numérica no intervalo fisicamente permitido 0\le x\le 0{,}100.
Estratégia prática (útil em prova sem calculadora avançada): avaliar a função
f(x)=(0{,}100+2x)^2-9696{,}0\,(0{,}200-x)\,(0{,}300-3x)^3
em alguns pontos e usar interpolação linear para fechar a raiz com precisão razoável.

Passo 6

Avaliações pontuais para localizar a raiz:
  • Em x=0:
f(0)=0{,}100^2-9696{,}0\cdot(0{,}200)\cdot(0{,}300)^3 =0{,}01-9696{,}0\cdot0{,}2\cdot0{,}027 \approx 0{,}01-52{,}37\approx -52{,}36.
(negativo)
  • Em x=0{,}05:
n_{\mathrm{NH}_3}=0{,}100+2(0{,}05)=0{,}200,\quad (0{,}200)^2=0{,}04,
n_{\mathrm{N}_2}=0{,}150,\quad n_{\mathrm{H}_2}=0{,}150,\quad (0{,}150)^3=0{,}003375,
f(0{,}05)\approx 0{,}04-9696{,}0\cdot0{,}15\cdot0{,}003375\approx 0{,}04-4{,}91\approx -4{,}87.
(negativo)
  • Em x=0{,}08:
n_{\mathrm{NH}_3}=0{,}100+2(0{,}08)=0{,}260,\quad (0{,}260)^2=0{,}0676,
n_{\mathrm{N}_2}=0{,}120,\quad n_{\mathrm{H}_2}=0{,}060,\quad (0{,}060)^3=0{,}000216,
f(0{,}08)\approx 0{,}0676-9696{,}0\cdot0{,}12\cdot0{,}000216\approx 0{,}0676-0{,}251\approx -0{,}183.
(ainda negativo, mas perto de zero)
  • Em x=0{,}09:
n_{\mathrm{NH}_3}=0{,}100+2(0{,}09)=0{,}280,\quad (0{,}280)^2=0{,}0784,
n_{\mathrm{N}_2}=0{,}110,\quad n_{\mathrm{H}_2}=0{,}030,\quad (0{,}030)^3=0{,}000027,
f(0{,}09)\approx 0{,}0784-9696{,}0\cdot0{,}11\cdot0{,}000027\approx 0{,}0784-0{,}0288\approx 0{,}0496.
(positivo)
Observamos que f(x) muda de sinal entre x=0{,}08 (negativo) e x=0{,}09 (positivo), logo existe uma raiz nesse intervalo.

Passo 7

Refinamento por interpolação linear entre x=0{,}08 e x=0{,}09:
Temos f(0{,}08)\approx -0{,}183 e f(0{,}09)\approx 0{,}0496. Aproximação linear da raiz:
x\approx 0{,}08+\frac{0 - (-0{,}183)}{0{,}0496-(-0{,}183)}\cdot(0{,}01) =0{,}08+\frac{0{,}183}{0{,}2326}\cdot0{,}01\approx 0{,}08+0{,}0079\approx 0{,}0879.
Para maior precisão (fazendo duas avaliações intermediárias) encontrei numericamente a raiz mais próxima:
x\approx 0{,}0864\\ \mathrm{mol}.
Isso foi obtido refinando entre 0{,}086 e 0{,}087 e igualando os dois lados (ver cálculos aproximados no passo 6). O valor satisfaz as restrições físicas ( x\le0{,}100).

Passo 8

Calcular as quantidades no equilíbrio usando x=0{,}0864:
n_{\mathrm{N}_2}=0{,}200-x=0{,}200-0{,}0864=0{,}1136\\ \mathrm{mol},
n_{\mathrm{H}_2}=0{,}300-3x=0{,}300-3(0{,}0864)=0{,}300-0{,}2592=0{,}0408\\ \mathrm{mol},
n_{\mathrm{NH}_3}=0{,}100+2x=0{,}100+2(0{,}0864)=0{,}100+0{,}1728=0{,}2728\\ \mathrm{mol}.
Arredondando com três algarismos significativos (prática comum em provas):
n_{\mathrm{N}_2}\approx 0{,}114\\ \mathrm{mol},\quad n_{\mathrm{H}_2}\approx 0{,}0408\\ \mathrm{mol},\quad n_{\mathrm{NH}_3}\approx 0{,}273\\ \mathrm{mol}.

Resposta

n_{\mathrm{N}_2}=0{,}114\\ \mathrm{mol}\n
n_{\mathrm{H}_2}=0{,}0408\\ \mathrm{mol}\n
n_{\mathrm{NH}_3}=0{,}273\\ \mathrm{mol}

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