6.31 A
para
. Se
de
de
e
de
são colocados em um recipiente de
vazio mantido a
, determine os números de mols de todas as espécies no equilíbrio e a pressão no equilíbrio.
Passo 1
O enunciado dá a reação e pede as quantidades em equilíbrio e a pressão no equilíbrio. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
- Reação:
. - Constante de equilíbrio em pressão (à temperatura indicada):
a . - Temperatura:
. - Volume do recipiente:
. - Quantidades iniciais colocadas no recipiente:
-
de . -
de . -
de .
-
- O que se pede:
- Números de mols de
, e no equilíbrio. - Pressão total no equilíbrio.
- Números de mols de
Passo 2
Vamos escrever a expressão do equilíbrio em termos de pressões parciais e transformar em uma relação entre números de mol.
- Expressão de
para a reação:
- Usamos a equação dos gases ideais para ligar pressões e números de mol: para cada espécie
,
onde
é a constante dos gases,
a temperatura em K,
o volume em L e
o número de mol de
.
- Substituindo
na expressão de :
- O expoente de
é . Portanto,
- Agora calculamos numericamente
. Usarei , e :
- Multiplicando por
:
Assim, a condição de equilíbrio em termos dos números de mol é
Passo 3
Introduzo a extensão da reação
(em mol) para escrever os números de mol em equilíbrio.
-
Converto as quantidades iniciais de mmol para mol:
-
-
Pela estequiometria, se a reação procede no sentido direto com extensão
(mol), -
-
Observação de domínio:
não pode ser maior que a exaustão de , ou seja .
Passo 4
Substituo as expressões em
na condição de equilíbrio e obtenho uma equação para
.
Esta é uma equação não-linear em
. Vou resolver numericamente por tentativa refinada (método de estreitamento / bisseção) mostrando os cálculos intermediários para você poder replicar na prova se precisar.
Passo 5
Avaliação da função para diferentes
e estreitamento do intervalo até encontrar
com precisão adequada.
Defino a função
Queremos
.
-
Em
: - Numerador:
. - Denominador:
. -
(muito menor que , logo a reação anda para frente).
- Numerador:
-
Em
: -
numerador . -
. -
. - Denominador
. -
(maior que ). Então a solução está entre e .
-
-
Em
: -
numerador . -
quadrado . -
. - Denominador
. -
(ainda maior que ). Então raiz entre e possivelmente.
-
-
Em
: -
numerador . -
quadrado . -
. - Denominador
. -
(agora menor que ). Logo raiz está entre e .
-
-
Em
: -
numerador . -
quadrado . -
. - Denominador
. -
(maior que ). Então raiz entre e .
-
-
Em
: -
numerador . -
quadrado . -
. - Denominador
. -
(ligeiramente menor que ). Raiz entre e .
-
-
Em
: -
numerador . -
quadrado . -
. - Denominador
. -
(ligeiramente maior que ).
-
-
Refinando entre
e por interpolação e checagem, obtenho aproximadamente
porque para esse valor
dentro da precisão usada.
(Obs.: em prova você pode aplicar o mesmo raciocínio de estreitamento/bisseção ou usar Newton se já souber, mas a bisseção com algumas avaliações é robusta.)
Passo 6
Com
calculo os números de mol em equilíbrio e a pressão total.
-
Números de mol em equilíbrio:
-
-
Verificação rápida (somando):
-
Pressão total pelo gás ideal:
Arredondando de forma consistente com os dados (valores dados com três algarismos em mmol), podemos reportar os resultados com pelo menos três algarismos significativos.