6.31 A 727^{\circ} \mathrm{C}, K_{P}^{\circ}=3,42 para 2 \mathrm{SO}_{2}(g)+\mathrm{O}_{2}(g) \rightleftharpoons 2 \mathrm{SO}_{3}(g). Se 2,65 \mathrm{mmol} de \mathrm{SO}_{2}, 3,10 \mathrm{mmol} de \mathrm{O}_{2} e 1,44 \mathrm{mmol} de \mathrm{SO}_{3} são colocados em um recipiente de 185 \mathrm{~cm}^{3} vazio mantido a 727^{\circ} \mathrm{C}, determine os números de mols de todas as espécies no equilíbrio e a pressão no equilíbrio.

Passo 1

O enunciado dá a reação e pede as quantidades em equilíbrio e a pressão no equilíbrio. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • Reação: 2\mathrm{SO}_2(g)+\mathrm{O}_2(g)\rightleftharpoons2\mathrm{SO}_3(g).
  • Constante de equilíbrio em pressão (à temperatura indicada): K_P^\circ=3,42 a 727^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura: 727^\circ\mathrm{C}=1000\\ \mathrm{K}.
  • Volume do recipiente: 185\\ \mathrm{cm}^3=0,185\\ \mathrm{L}.
  • Quantidades iniciais colocadas no recipiente:
    • \;2,65\\ \mathrm{mmol} de \mathrm{SO}_2.
    • \;3,10\\ \mathrm{mmol} de \mathrm{O}_2.
    • \;1,44\\ \mathrm{mmol} de \mathrm{SO}_3.
  • O que se pede:
    • Números de mols de \mathrm{SO}_2, \mathrm{O}_2 e \mathrm{SO}_3 no equilíbrio.
    • Pressão total no equilíbrio.

Passo 2

Vamos escrever a expressão do equilíbrio em termos de pressões parciais e transformar em uma relação entre números de mol.
  • Expressão de K_P para a reação:
K_P=\frac{P_{\mathrm{SO}_3}^2}{P_{\mathrm{SO}_2}^2\,P_{\mathrm{O}_2}}.
  • Usamos a equação dos gases ideais para ligar pressões e números de mol: para cada espécie i,
P_i=\frac{n_i RT}{V},
onde R é a constante dos gases, T a temperatura em K, V o volume em L e n_i o número de mol de i.
  • Substituindo P_i na expressão de K_P:
K_P=\frac{\left(\dfrac{n_{\mathrm{SO}_3}RT}{V}\right)^2}{\left(\dfrac{n_{\mathrm{SO}_2}RT}{V}\right)^2\left(\dfrac{n_{\mathrm{O}_2}RT}{V}\right)} =\left(\frac{RT}{V}\right)^{2-(2+1)}\frac{n_{\mathrm{SO}_3}^2}{n_{\mathrm{SO}_2}^2\,n_{\mathrm{O}_2}}.
  • O expoente de \dfrac{RT}{V} é 2-(2+1)=-1. Portanto,
\frac{n_{\mathrm{SO}_3}^2}{n_{\mathrm{SO}_2}^2\,n_{\mathrm{O}_2}}=K_P\left(\frac{RT}{V}\right).
  • Agora calculamos numericamente \dfrac{RT}{V}. Usarei R=0,082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, T=1000\\ \mathrm{K} e V=0,185\\ \mathrm{L}:
\frac{RT}{V}=\frac{0,082057\cdot1000}{0,185}=443,5405\\ \mathrm{atm\cdot mol^{-1}}.
  • Multiplicando por K_P:
K_P\left(\frac{RT}{V}\right)=3,42\cdot443,5405\approx1517,3095.
Assim, a condição de equilíbrio em termos dos números de mol é
\frac{n_{\mathrm{SO}_3}^2}{n_{\mathrm{SO}_2}^2\,n_{\mathrm{O}_2}}=1517,3095.

Passo 3

Introduzo a extensão da reação \xi (em mol) para escrever os números de mol em equilíbrio.
  • Converto as quantidades iniciais de mmol para mol:
    • \;n_{\mathrm{SO}_2}^0=2,65\\ \mathrm{mmol}=0,00265\\ \mathrm{mol}.
    • \;n_{\mathrm{O}_2}^0=3,10\\ \mathrm{mmol}=0,00310\\ \mathrm{mol}.
    • \;n_{\mathrm{SO}_3}^0=1,44\\ \mathrm{mmol}=0,00144\\ \mathrm{mol}.
  • Pela estequiometria, se a reação procede no sentido direto com extensão \xi (mol),
    • \;n_{\mathrm{SO}_2}=n_{\mathrm{SO}_2}^0-2\xi=0,00265-2\xi.
    • \;n_{\mathrm{O}_2}=n_{\mathrm{O}_2}^0-\xi=0,00310-\xi.
    • \;n_{\mathrm{SO}_3}=n_{\mathrm{SO}_3}^0+2\xi=0,00144+2\xi.
  • Observação de domínio: \xi não pode ser maior que a exaustão de \mathrm{SO}_2, ou seja \xi\le0,00265/2=0,001325\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Substituo as expressões em \xi na condição de equilíbrio e obtenho uma equação para \xi.
\frac{(0,00144+2\xi)^2}{(0,00265-2\xi)^2(0,00310-\xi)}=1517,3095.
Esta é uma equação não-linear em \xi. Vou resolver numericamente por tentativa refinada (método de estreitamento / bisseção) mostrando os cálculos intermediários para você poder replicar na prova se precisar.

Passo 5

Avaliação da função para diferentes \xi e estreitamento do intervalo até encontrar \xi com precisão adequada.
Defino a função
F(\xi)=\frac{(0,00144+2\xi)^2}{(0,00265-2\xi)^2(0,00310-\xi)}.
Queremos F(\xi)=1517,3095.
  • Em \xi=0:
    • Numerador: (0,00144)^2=2,0736\cdot10^{-6}.
    • Denominador: (0,00265)^2(0,00310)=7,0225\cdot10^{-6}\cdot0,00310=2,1770\cdot10^{-8}.
    • F(0)=\dfrac{2,0736\cdot10^{-6}}{2,1770\cdot10^{-8}}\approx95,26 (muito menor que 1517{,}3, logo a reação anda para frente).
  • Em \xi=0,001\\ \mathrm{mol}:
    • 0,00144+2\xi=0,00344\Rightarrow numerador \approx1,18336\cdot10^{-5}.
    • 0,00265-2\xi=0,00065\Rightarrow (\dots)^2\approx4,225\cdot10^{-7}.
    • 0,00310-\xi=0,00210.
    • Denominador \approx8,8725\cdot10^{-10}.
    • F(0,001)\approx13336 (maior que 1517{,}3). Então a solução está entre 0 e 0,001.
  • Em \xi=0,0007:
    • 0,00144+2\xi=0,00284\Rightarrow numerador \approx8,0656\cdot10^{-6}.
    • 0,00265-2\xi=0,00125\Rightarrow quadrado \approx1,5625\cdot10^{-6}.
    • 0,00310-\xi=0,00240.
    • Denominador \approx3,75\cdot10^{-9}.
    • F(0,0007)\approx2151 (ainda maior que 1517{,}3). Então raiz entre 0,0006 e 0,0007 possivelmente.
  • Em \xi=0,0006:
    • 0,00144+2\xi=0,00264\Rightarrow numerador \approx6,9696\cdot10^{-6}.
    • 0,00265-2\xi=0,00145\Rightarrow quadrado \approx2,1025\cdot10^{-6}.
    • 0,00310-\xi=0,00250.
    • Denominador \approx5,25625\cdot10^{-9}.
    • F(0,0006)\approx1326,6 (agora menor que 1517{,}3). Logo raiz está entre 0,0006 e 0,0007.
  • Em \xi=0,00065:
    • 0,00144+2\xi=0,00274\Rightarrow numerador \approx7,5076\cdot10^{-6}.
    • 0,00265-2\xi=0,00135\Rightarrow quadrado \approx1,8225\cdot10^{-6}.
    • 0,00310-\xi=0,00245.
    • Denominador \approx4,463125\cdot10^{-9}.
    • F(0,00065)\approx1682,0 (maior que 1517{,}3). Então raiz entre 0,0006 e 0,00065.
  • Em \xi=0,000625:
    • 0,00144+2\xi=0,00269\Rightarrow numerador \approx7,2361\cdot10^{-6}.
    • 0,00265-2\xi=0,00140\Rightarrow quadrado \approx1,9600\cdot10^{-6}.
    • 0,00310-\xi=0,002475.
    • Denominador \approx4,8510\cdot10^{-9}.
    • F(0,000625)\approx1492,0 (ligeiramente menor que 1517{,}3). Raiz entre 0,000625 e 0,00065.
  • Em \xi=0,00063:
    • 0,00144+2\xi=0,00270\Rightarrow numerador \approx7,29\cdot10^{-6}.
    • 0,00265-2\xi=0,00139\Rightarrow quadrado \approx1,9321\cdot10^{-6}.
    • 0,00310-\xi=0,00247.
    • Denominador \approx4,7703\cdot10^{-9}.
    • F(0,00063)\approx1528 (ligeiramente maior que 1517{,}3).
  • Refinando entre 0,000625 e 0,00063 por interpolação e checagem, obtenho aproximadamente
    \xi\approx0,0006285\\ \mathrm{mol},
porque para esse valor F(\xi)\approx1517{,}3 dentro da precisão usada.
(Obs.: em prova você pode aplicar o mesmo raciocínio de estreitamento/bisseção ou usar Newton se já souber, mas a bisseção com algumas avaliações é robusta.)

Passo 6

Com \xi\approx0,0006285\\ \mathrm{mol} calculo os números de mol em equilíbrio e a pressão total.
  • Números de mol em equilíbrio:
    • \;n_{\mathrm{SO}_2}=0,00265-2(0,0006285)=0,00265-0,001257=0,001393\\ \mathrm{mol}.
    • \;n_{\mathrm{O}_2}=0,00310-0,0006285=0,0024715\\ \mathrm{mol}.
    • \;n_{\mathrm{SO}_3}=0,00144+2(0,0006285)=0,00144+0,001257=0,002697\\ \mathrm{mol}.
  • Verificação rápida (somando): n_{\text{total}}=0,001393+0,0024715+0,002697\approx0,0065615\\ \mathrm{mol}.
  • Pressão total pelo gás ideal:
P_{\text{eq}}=\frac{n_{\text{total}}RT}{V} =\frac{0,0065615\cdot0,082057\cdot1000}{0,185}\\ \mathrm{atm}\approx2,9094\\ \mathrm{atm}.
Arredondando de forma consistente com os dados (valores dados com três algarismos em mmol), podemos reportar os resultados com pelo menos três algarismos significativos.

Resposta

n_{\mathrm{SO}_2}=0,001393\\ \mathrm{mol}
n_{\mathrm{O}_2}=0,002472\\ \mathrm{mol}
n_{\mathrm{SO}_3}=0,002697\\ \mathrm{mol}
P_{\text{eq}}=2,91\\ \mathrm{atm}

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