O ácido ascórbico, \mathrm{HC}_{6} \mathrm{H}_{7} \mathrm{O}_{2}, é ácido fraco monoprótico \operatorname{com} \mathrm{K}_{\mathrm{a}}=1,7 \times 10^{-5}. O seu sal (sorbato de potássio) é usado como inibidor do crescimento de fungos na preparação de queijos. Qual o pH da solução que tem 4,93 \mathrm{~g} de sorbato de potássio em 0,500 \mathrm{~L} de solução?

Passo 1

O enunciado pede o pH de uma solução que contém 4,93\\ \mathrm{g} de sorbato de potássio dissolvidos em 0,500\\ \mathrm{L} de solução. Dados fornecidos:
\text{ácido: } \mathrm{HA} \quad\text{(fórmula dada: }\mathrm{HC_{6}H_{7}O_{2}}\text{)}áó
K_a = 1,7 \times 10^{-5}
\text{massa do sal (potássio do anião A\(^-\)): } 4,93\ \mathrm{g}áã
\text{volume da solução: } 0,500\\ \mathrm{L}çã
Pergunta clara: qual o pH da solução?

Passo 2

Primeira ação prática: calcular a massa molar do ácido (e, portanto, do sal). Vou usar massas atômicas aproximadas:
M_C = 12{,}01,\quad M_H = 1{,}008,\quad M_O = 16{,}00
A fórmula do ácido (sorbic) é \mathrm{C_{6}H_{8}O_{2}} (equivalente ao enunciado). A massa molar é
M = 6M_C + 8M_H + 2M_O.
Agora calculo numericamente:
M = 6\cdot 12{,}01 + 8\cdot 1{,}008 + 2\cdot 16{,}00 = 72{,}06 + 8{,}064 + 32{,}00 = 112{,}124\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.

Passo 3

Calcular o número de mols do sal presente. O sal (potássio do anião A ^-) tem praticamente a mesma massa molar do ácido mais o potássio, mas neste tipo de exercício costuma-se considerar que a massa fornecida refere-se ao sal cujo anião tem aproximadamente a massa molar do ácido; aqui usamos a massa molar aproximada 112{,}124\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} para obter a ordem de grandeza dos mols (se o enunciado esperasse inclusão do K ^+ faríamos ajuste pequeno). Assim:
n = \frac{m}{M} = \frac{4{,}93}{112{,}124} = 0{,}04396\\ \text{mol}\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Concentração inicial do anião A^- (o sal dissocia completamente em solução aquosa):
[\mathrm{A^-}]_0 = \frac{n}{V} = \frac{0{,}04396}{0{,}500} = 0{,}08793\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Arredondando, [\mathrm{A^-}]_0 \approx 0{,}0879\\ \mathrm{M}.

Passo 5

Teoria importante (aula rápida): o sal do ácido fraco produz uma solução básica porque o anião \mathrm{A^-} sofre hidrólise:
\mathrm{A^-} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{HA} + \mathrm{OH^-}.
A constante de basicidade K_b do anião está relacionada com K_a do ácido por
K_b = \frac{K_w}{K_a},
onde K_w é o produto iônico da água. Tomamos K_w = 1{,}0\times 10^{-14} (25 °C).

Passo 6

Calcular K_b:
K_b = \frac{1{,}0\times 10^{-14}}{1{,}7\times 10^{-5}} = 5{,}8823529\times 10^{-10}\approx 5{,}88\times 10^{-10}.

Passo 7

Montar a expressão de equilíbrio. Seja x a concentração de \mathrm{OH^-} formada:
inicial: [\mathrm{A^-}]=c=0{,}08793,\\ [\mathrm{HA}]=0,\\ [\mathrm{OH^-}]=0.
no equilíbrio: [\mathrm{A^-}]=c-x,\\ [\mathrm{HA}]=x,\\ [\mathrm{OH^-}]=x.
A expressão de K_b é
K_b = \frac{[\mathrm{HA}][\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{A^-}]} = \frac{x^2}{c-x}.
Como esperamos x\ll c para bases fracas diluídas, aproximamos c-x\approx c e então
x \approx \sqrt{K_b\,c}.
Calculo numérico:
K_b\,c = (5{,}88235\times 10^{-10})\cdot 0{,}08793 \approx 5{,}174\times 10^{-11}.
x \approx \sqrt{5{,}174\times 10^{-11}} \approx 7{,}20\times 10^{-6}\\ \mathrm{M}.
Logo [\mathrm{OH^-}] \approx 7{,}20\times 10^{-6}\\ \mathrm{M}.

Passo 8

Calcular pOH e pH. Lembre: pOH = -\log_{10}[\mathrm{OH^-}] e pH = 14 - pOH.
pOH = -\log_{10}(7{,}20\times 10^{-6}) \approx 5{,}1425.
pH = 14 - 5{,}1425 = 8{,}8575 \approx 8{,}86.
Verificação da aproximação: razão x/c = \dfrac{7{,}20\times 10^{-6}}{0{,}08793}\approx 8{,}19\times 10^{-5} (ou seja, 0{,}0082\%), muito pequena; a aproximação c-x\approx c é válida.

Passo 9

Resumo final e incentivo: a solução é básica com pH próximo de 8{,}86. Você fez bem em seguir passo a passo — essa é a receita padrão para problemas com sais de ácidos fracos: calcular concentração do anião, converter K_a em K_b, montar equilíbrio, usar a aproximação quadrática e checar se ela é aceitável.

Resposta

pH = 8{,}86

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