O ácido ascórbico (vitamina C) degrada em solução obedecendo uma cinética de ordem zero. Sabendo-se que o tempo de meia-vida é de 720 h , quando a concentração inicial for de 1 \mathrm{~g} / \mathrm{L} :
a) Obtenha a constante de velocidade da reação. (R: 6,94 \times 10^{-4} \mathrm{~g} / \mathrm{Lh} )
b) Calcule o tempo que levaria uma concentração inicial de 1 \mathrm{~g} / \mathrm{L} para se reduzir em 10%. R: 144 h

Passo 1

O enunciado diz que a degradação do ácido ascórbico (vitamina C) em solução obedece a uma cinética de ordem zero. Foi dada a seguinte informação: a meia-vida é 720 h quando a concentração inicial é 1\\ \mathrm{g/L}. As perguntas são:
a) Obter a constante de velocidade da reação (unidade pedida compatível com concentração por tempo).
b) Calcular o tempo necessário para que uma concentração inicial de 1\\ \mathrm{g/L} se reduza em 10\%.

Passo 2

Vamos entender o que significa “cinética de ordem zero” e escrever a equação diferencial associada. Numa reação de ordem zero a velocidade não depende da concentração: a taxa de variação da concentração é constante. Escrevemos isso assim:
-\frac{dC}{dt} = k
onde:
  • C(t) é a concentração no instante t (unidade \mathrm{g/L}),
  • k é a constante de velocidade (unidade a determinar),
  • o sinal negativo aparece porque C diminui com o tempo.
Dimensionalmente a velocidade -dC/dt tem unidade \mathrm{g\,L^{-1}\,h^{-1}}, portanto k também tem unidade \mathrm{g\,L^{-1}\,h^{-1}}.

Passo 3

Integramos a equação diferencial para obter a expressão de C(t). Partimos de
-\frac{dC}{dt} = k.
Rearranjando,
dC = -k\,dt.
Integrando ambos os lados do instante 0 até t, com C(0)=C_0,
\int_{C_0}^{C(t)} dC = -\int_{0}^{t} k\,dt.
As integrais dão
C(t)-C_0 = -k t.
Portanto a forma integrada é
C(t)=C_0 - k t.
Isto é intuitivo: a concentração cai linearmente no tempo com declive -k.

Passo 4

Agora relacionamos a meia-vida com k. A meia-vida t_{1/2} é o tempo em que C(t_{1/2}) = C_0/2. Substituindo na expressão integrada:
\frac{C_0}{2} = C_0 - k t_{1/2}.
Isolando t_{1/2},
k t_{1/2} = C_0 - \frac{C_0}{2} = \frac{C_0}{2},
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t_{1/2} = \frac{C_0}{2k}.
Se quisermos k em função de t_{1/2},
k = \frac{C_0}{2 t_{1/2}}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula obtida para calcular k usando C_0 = 1\\ \mathrm{g/L} e t_{1/2}=720\\ \mathrm{h}. Substituindo:
k = \frac{1}{2\cdot 720} = \frac{1}{1440}\\ \mathrm{g\,L^{-1}\,h^{-1}}.
Convertendo para decimal:
\frac{1}{1440} = 0,000694444\ldots
Arredondando em notação científica com três algarismos significativos:
k = 6,94\times 10^{-4}\\ \mathrm{g\,L^{-1}\,h^{-1}}.

Passo 6

Para a parte (b) queremos o tempo necessário para reduzir a concentração inicial C_0=1\\ \mathrm{g/L} em 10\%. A concentração final é
C = 0,9\,C_0 = 0,9\\ \mathrm{g/L}.
Usamos a expressão integrada C(t)=C_0 - k t e isolamos t:
t = \frac{C_0 - C}{k}.
A diferença C_0 - C é 0,1\\ \mathrm{g/L}. Usando k=\tfrac{1}{1440}\\ \mathrm{g\,L^{-1}\,h^{-1}},
t = \frac{0,1}{1/1440} = 0,1\times 1440 = 144\\ \mathrm{h}.
Portanto levariam 144 horas para a concentração cair 10\%.

Passo 7

Resumo e checagem rápida: o valor de k obtido a partir da expressão da meia-vida para ordem zero e a conta para o tempo de 10\% batem com os resultados indicados no enunciado. Força aí — essas contas são diretas quando se reconhece que a lei integrada é linear em t.

Resposta

k=6,94\times 10^{-4}\\ \mathrm{g\,L^{-1}\,h^{-1}}
t=144\\ \mathrm{h}

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