A reação de decomposição do acetato de etila segue cinética de segunda ordem, com \mathrm{k}=0,02 \mathrm{L} / mol.min a 25^{\circ} \mathrm{C}. Para uma concentração inicial de acetato de etila 0,1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, calcule a concentração do acetato após 30 min de reação. Sabendo que a constante de velocidade da reação dobra para um aumento de 10^{\circ} \mathrm{C} na temperatura (ou seja, 35^{\circ} \mathrm{C} ), calcule a energia de ativação da reação. R: 0,094 \mathrm{mol} / \mathrm{L} ; \mathrm{Ea}=12651 \mathrm{cal} / \mathrm{mol} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Calcular a concentração do acetato de etila após 30 min, supondo cinética de segunda ordem com constante de velocidade k=0,02\\ \mathrm{L}/\mathrm{mol}\cdot\mathrm{min} à temperatura de 25^\circ\mathrm{C} e concentração inicial [A]_0=0,1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  2. Sabendo que ao aumentar a temperatura de 25^\circ\mathrm{C} para 35^\circ\mathrm{C} a constante de velocidade dobra (ou seja, k_{35}=2k_{25}), calcular a energia de ativação E_a.
    Dados listados (retirados do enunciado):
    \;k_{25}=0,02\\ \mathrm{L}/\mathrm{mol}\cdot\mathrm{min}
    \;[A]_0=0,1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}
    \;t=30\\ \mathrm{min}
    \;k_{35}=2k_{25}
    Temperaturas: T_1=25^\circ\mathrm{C}, T_2=35^\circ\mathrm{C}.
    Nada mais será assumido; próximo passo: lembrar e deduzir a lei integrada da cinética de segunda ordem e aplicar aos números.

Passo 2

Recordando a definição de cinética de segunda ordem (para uma reação do tipo A \to produtos em que a velocidade depende apenas de [A]): a lei de velocidade diferencial é
-\frac{d[A]}{dt}=k[A]^2.
Explicando cada símbolo: [A] é a concentração da espécie A em \mathrm{mol}/\mathrm{L}, t é o tempo em minutos, k é a constante de velocidade com unidades \mathrm{L}/\mathrm{mol}\cdot\mathrm{min} (essas unidades são coerentes com ordem 2). Para obter a forma integrada que relaciona [A] com t, separamos as variáveis e integramos:
\frac{d[A]}{[A]^2}=-k\,dt.
Integramos ambos os lados desde o tempo 0 (concentração [A]_0) até o tempo t (concentração [A]):
\int_{[A]_0}^{[A]}\frac{d[A]}{[A]^2}=-\int_{0}^{t}k\,dt.
A integral à esquerda é simples: \int x^{-2}dx=-x^{-1}. Aplicando os limites obtemos
\left(-\frac{1}{[A]}\right)-\left(-\frac{1}{[A]_0}\right)=-kt,
ou reorganizando,
\frac{1}{[A]}=\frac{1}{[A]_0}+kt.
Essa é a forma integrada da cinética de segunda ordem que vamos usar. Interpretação prática: para reações de segunda ordem, o recíproco da concentração aumenta linearmente com o tempo.

Passo 3

Aplicando a fórmula integrada para calcular [A] em t=30\\ \mathrm{min}:
\frac{1}{[A]}=\frac{1}{[A]_0}+kt.
Substituindo os valores conhecidos:
\frac{1}{[A]}=\frac{1}{0,1}+0,02\cdot 30.
Calcule os termos separadamente:
\frac{1}{0,1}=10\quad(\mathrm{L}/\mathrm{mol})
e
0,02\cdot 30=0,6\quad(\mathrm{L}/\mathrm{mol}).
Somando:
\frac{1}{[A]}=10+0,6=10,6\quad(\mathrm{L}/\mathrm{mol}).
Invertendo para obter [A]:
[A]=\frac{1}{10,6}\approx 0,0943396\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
Arredondando de forma consistente com o enunciado, obtemos [A]\approx 0,094\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}. Ótimo — primeira parte resolvida.

Passo 4

Agora vamos para a energia de ativação E_a. A relação fundamental é a equação de Arrhenius:
k=A\exp\!\Big(-\frac{E_a}{R\,T}\Big),
onde A é o fator pré-exponencial (frequência), E_a é a energia de ativação (unidade de energia por mol), R é a constante dos gases e T é a temperatura absoluta (Kelvin). Tomando o logaritmo natural do quociente das constantes em duas temperaturas T_1 e T_2 temos a forma prática:
\ln\!\Big(\frac{k_2}{k_1}\Big)=-\frac{E_a}{R}\Big(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Big).
Isolando E_a:
E_a = -R\;\frac{\ln(k_2/k_1)}{\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}} =R\;\frac{\ln(k_2/k_1)}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}}.
Essa fórmula é a que usaremos, substituindo k_2/k_1=2 e convertendo temperaturas para Kelvin.

Passo 5

Converter temperaturas para Kelvin:
T_1=25^\circ\mathrm{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K},
T_2=35^\circ\mathrm{C}=35+273{,}15=308{,}15\\ \mathrm{K}.
Constante dos gases na unidade caloria: usaremos R=1{,}987\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}) (valor comum para cálculos em cal/mol·K). Sabemos que k_2/k_1=2, então \ln(2)=0{,}693147\ldots . Agora calcule o denominador:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{T_2-T_1}{T_1T_2}=\frac{10}{298{,}15\cdot 308{,}15}.
Calcule o produto:
298{,}15\cdot 308{,}15\approx 91875{,}9225\\ (\mathrm{K}^2).
Logo
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\approx\frac{10}{91875{,}9225}\approx 0{,}00010882\\ \mathrm{K}^{-1}.
Agora aplique a fórmula para E_a:
E_a=R\;\frac{\ln 2}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}} \approx 1{,}987\cdot\frac{0{,}693147}{0{,}00010882}.
Calcule o numerador:
1{,}987\cdot 0{,}693147\approx 1{,}3769.
Dividindo:
E_a\approx\frac{1{,}3769}{0{,}00010882}\approx 12651\\ \mathrm{cal}/\mathrm{mol}.
Esse valor coincide com o resultado fornecido no enunciado. Interpretando: E_a é a barreira energética necessária para que a reação ocorra; aqui ficou em torno de 1{,}265\times 10^4 cal/mol.

Passo 6

Resumo final rápido e encorajador: a parte de cinética exigiu usar a forma integrada da lei de segunda ordem (recíproco da concentração cresce linearmente com o tempo) e a parte termodinâmica usou a equação de Arrhenius para relacionar a variação da constante com a temperatura. Mandou bem por trazer um problema com números simples — com calma e seguindo as fórmulas a conta sai direitinho. Vá revisando esses passos; na prova, escreva as deduções (separação de variáveis e integração, e a manipulação da Arrhenius) para garantir a nota.

Resposta

0,094\\ \mathrm{mol} / \mathrm{L}
E_a=12651\\ \mathrm{cal} / \mathrm{mol}

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