O K_{a} do ácido benzoico é 6,5 \cdot 10^{-5}. Calcule o pH de uma solução de ácido benzoico 0,10 \mathrm{M}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: constante de acidez do ácido benzoico \,K_a = 6{,}5\cdot10^{-5}.
  • Dado: concentração inicial do ácido benzoico \,[\text{HA}]_0 = 0{,}10\\ \mathrm{M}.
  • Pedido: calcular o pH da solução.

Passo 2

Entender o equilíbrio químico envolvido (aula rápida). O ácido benzoico (representado por \mathrm{HA}) se ioniza em água segundo a reação
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{A}^-.
A constante de acidez \,K_a é definida por
K_a=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]},
onde:
  • [\mathrm{H}^+] é a concentração dos íons hidrogênio no equilíbrio (em \mathrm{M}),
  • [\mathrm{A}^-] é a concentração do ânion conjugado no equilíbrio (em \mathrm{M}),
  • [\mathrm{HA}] é a concentração do ácido não dissociado no equilíbrio (em \mathrm{M}).
Na prática, para um ácido fraco inicial de concentração \,C que se dissocia parcialmente, é comum introduzir uma variável \,x que representa [\mathrm{H}^+] gerado no equilíbrio.

Passo 3

Montar a tabela ICE (Initial, Change, Equilibrium) com \,x sendo a concentração de \mathrm{H}^+ formada:
  • Inicial: [\mathrm{HA}] = 0{,}10, [\mathrm{H}^+] = 0 (considerando água pura inicialmente), [\mathrm{A}^-] = 0.
  • Variação: \mathrm{HA} perde x, [\mathrm{H}^+] ganha x, [\mathrm{A}^-] ganha x.
  • Equilíbrio: [\mathrm{HA}] = 0{,}10 - x, [\mathrm{H}^+] = x, [\mathrm{A}^-] = x.
Substituindo na definição de \,K_a:
K_a=\frac{x\cdot x}{0{,}10 - x}=\frac{x^2}{0{,}10 - x}.

Passo 4

Resolver a equação para x. A equação pode ser rearranjada para uma equação quadrática:
K_a(0{,}10 - x)=x^2
K_a\cdot0{,}10 - K_a x = x^2
x^2 + K_a x - K_a\cdot0{,}10 = 0.
Esta é uma equação quadrática padrão x^2 + K_a x - K_a C = 0 com C=0{,}10. Pode-se resolver com a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4 K_a C}}{2}.
(Escolhemos a raiz positiva porque concentrações são positivas; a outra raiz seria negativa.)

Passo 5

Método prático usado em provas (aproximação): geralmente x é muito menor que C para ácidos fracos moderados, então aproximamos 0{,}10 - x \approx 0{,}10. Isso simplifica a expressão para
K_a \approx \frac{x^2}{0{,}10}\quad\Rightarrow\quad x \approx \sqrt{K_a\cdot0{,}10}.
Explico por que isso é razoável: se x/C < 5\% a aproximação é considerada boa; depois vamos checar esse critério.

Passo 6

Calcular a aproximação explícita.
  • Primeiro calcule K_a\cdot C:
K_a\cdot C = 6{,}5\cdot10^{-5}\times0{,}10 = 6{,}5\cdot10^{-6}.
  • Tomando a raiz quadrada:
x\approx\sqrt{6{,}5\cdot10^{-6}}=\sqrt{6{,}5}\cdot10^{-3}.
Uma estimativa de \sqrt{6{,}5} é aproximadamente 2{,}55, logo
x\approx 2{,}55\cdot10^{-3}\\ \mathrm{M}=2{,}55\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
  • Agora o pH aproximado:
\mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^+]=- \log_{10}(2{,}55\cdot10^{-3}) = 3 - \log_{10}(2{,}55).
Como \log_{10}(2{,}55)\approx 0{,}4065,
\mathrm{pH}\approx 3 - 0{,}4065 = 2{,}5935\approx 2{,}59.

Passo 7

Fazer a conta exata via fórmula quadrática (verificação e valor mais preciso).
Usando
x=\frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4K_a C}}{2},
substituindo K_a=6{,}5\cdot10^{-5} e C=0{,}10:
  • Calcular o discriminante:
K_a^2 = (6{,}5\cdot10^{-5})^2 = 4{,}225\cdot10^{-9},
4K_a C = 4\cdot6{,}5\cdot10^{-5}\cdot0{,}10 = 2{,}6\cdot10^{-5},
K_a^2 + 4K_a C \approx 2{,}6004225\cdot10^{-5}.
  • Raiz do discriminante (aproximação numérica):
\sqrt{K_a^2 + 4K_a C}\approx 0{,}005099.
  • Então
x\approx\frac{-6{,}5\cdot10^{-5} + 0{,}005099}{2}\approx\frac{0{,}005034}{2}\approx 0{,}002517\\ \mathrm{M}.
  • pH exato:
\mathrm{pH}=-\log_{10}(0{,}002517)=3 - \log_{10}(2{,}517)\approx 3 - 0{,}4005 = 2{,}5995\approx 2{,}60.

Passo 8

Verificar a validade da aproximação usada no Passo 5:
\frac{x}{C}\approx\frac{0{,}002517}{0{,}10}=0{,}02517 = 2{,}517\%.
Como isso é bem menor que 5\%, a aproximação 0{,}10-x\approx0{,}10 é adequada. A diferença entre a aproximação (pH \approx 2{,}59) e o valor mais preciso (pH \approx 2{,}60) é muito pequena.

Passo 9

Interpretação final e dica de prova: em exercícios de prova, aplicar a aproximação x\ll C e usar x\approx\sqrt{K_a C} é a forma rápida; sempre faça a checagem x/C<5\% para garantir que a aproximação é válida. Aqui ela foi válida.

Resposta

\mathrm{pH}\approx 2{,}60

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