O ácido fosfórico \left(\mathrm{H}_{3} \mathrm{PO}_{4}\right) comercial tem densidade igual a \mathbf{1 , 7 1} \mathrm{g} \mathrm{m} \mathrm{L}^{-1} e porcentagem em massa igual a 84,2 \%.
a) Qual é a concentração em quantidade de matéria dessa solução?
b) Qual o pH desta solução?
c) Que volume dessa solução concentrada é necessário para o preparo de 100 mL de uma solução \mathbf{0 , 2 0 0} mol \mathrm{L}^{-1} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
Dados fornecidos:
  • Densidade da solução comercial de ácido fosfórico: 1,71\\ \mathrm{g\;mL^{-1}}.
  • Porcentagem em massa (massa/ massa) de \mathrm{H_3PO_4} na solução: 84,2\%.
Perguntas:
a) Qual é a concentração em quantidade de matéria (molaridade) dessa solução, ou seja, quantos mols de \mathrm{H_3PO_4} existem por litro de solução?
b) Qual o pH desta solução concentrada?
c) Que volume dessa solução concentrada é necessário para preparar 100\\ \mathrm{mL} de uma solução 0,200\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}?

Passo 2

Primeiro preciso do peso molecular (massa molar) de \mathrm{H_3PO_4}. Vou calcular usando massas atômicas aproximadas (valores do quadro periódico):
  • M(\mathrm{H})=1,008, M(\mathrm{P})=30,974, M(\mathrm{O})=15,999.
A massa molar é a soma:
M(\mathrm{H_3PO_4}) = 3\cdot1,008 + 30,974 + 4\cdot15,999.
Calculemos:
3\cdot1,008=3,024,\qquad 4\cdot15,999=63,996,
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M(\mathrm{H_3PO_4}) = 3,024 + 30,974 + 63,996 = 97,994\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Explicação rápida: a massa molar diz quantos gramas tem 1 mol da substância; usamos isso para converter massa (g) em mols.

Passo 3

Para achar a concentração em mol·L^{-1} é conveniente considerar 1{,}00\\ \mathrm{L} (1 litro) dessa solução.
  • Massa da solução que ocupa 1{,}00\\ \mathrm{L}:
\text{massa}_{\text{solução}} = \text{densidade}\times\text{volume} = 1{,}71\\ \mathrm{g\;mL^{-1}}\times1000\\ \mathrm{mL} = 1710\\ \mathrm{g}.çã
  • A massa de \mathrm{H_3PO_4} nessa massa de solução (usando 84{,}2\% em massa):
\text{massa}_{\mathrm{H_3PO_4}} = 1710\\ \mathrm{g}\times0{,}842 = 1439{,}82\\ \mathrm{g}.
Comentário didático: usar 1 L facilita porque molaridade é mol por litro, então converter massa do soluto em mols e dividir por 1 L dá diretamente a molaridade.

Passo 4

Converter a massa de \mathrm{H_3PO_4} em mols e obter a molaridade.
  • Número de mols na massa encontrada:
n = \frac{\text{massa}_{\mathrm{H_3PO_4}}}{M(\mathrm{H_3PO_4})} = \frac{1439{,}82\\ \mathrm{g}}{97{,}994\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}} = 14{,}69\\ \mathrm{mol}.
  • Como isso veio de 1 L de solução, a molaridade é
[\mathrm{H_3PO_4}] = 14{,}69\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Interpretação: a solução comercial é muito concentrada — cerca de 14{,}7\\ \mathrm{M}.

Passo 5

Agora vamos ao pH. Precisamos lembrar que \mathrm{H_3PO_4} é um ácido triprótico: tem três etapas de dissociação
\mathrm{H_3PO_4} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{H_2PO_4^-}\quad (K_{a1}),
\mathrm{H_2PO_4^-} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{HPO_4^{2-}}\quad (K_{a2}),
\mathrm{HPO_4^{2-}} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{PO_4^{3-}}\quad (K_{a3}).
Valores típicos de pKa (tabela) são:
\mathrm{p}K_{a1}=2{,}15,\qquad \mathrm{p}K_{a2}=7{,}20,\qquad \mathrm{p}K_{a3}=12{,}37.
Convertemos \mathrm{p}K_a em K_a (a base dez): por exemplo
K_{a1}=10^{-2{,}15}=7{,}08\times10^{-3}.
Didática: a primeira dissociação é a mais relevante para produzir \mathrm{H^+} quando a concentração inicial do ácido é grande; as outras dissociações têm constantes muito menores (mais fracas) e, em concentrações comuns, contribuem pouco para [H^+].

Passo 6

Fazer o equilíbrio da primeira dissociação com uma tabela ICE (Initial, Change, Equilibrium). Seja C a concentração inicial do ácido, que encontramos: C=14{,}69\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Seja x a fração que se dissocia na primeira etapa; então em equilíbrio:
[\mathrm{H^+}] = x,\qquad [\mathrm{H_2PO_4^-}] = x,\qquad [\mathrm{H_3PO_4}] = C-x.
A expressão da constante:
K_{a1} = \frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{H_2PO_4^-}]}{[\mathrm{H_3PO_4}]} = \frac{x^2}{C-x}.
Rearranjando dá a equação quadrática
x^2 + K_{a1}x - K_{a1}C = 0.
Substituindo números: K_{a1}=7{,}08\times10^{-3} e C=14{,}69. A equação torna-se
x^2 + 0{,}00708\,x - 0{,}00708\times14{,}69 = 0.
O termo constante é -0{,}00708\times14{,}69 = -0{,}10396.
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara), a raiz positiva é
x = \frac{-K_{a1} + \sqrt{K_{a1}^2 + 4K_{a1}C}}{2}.
Calculemos o discriminante aproximado:
K_{a1}^2 + 4K_{a1}C \approx 0{,}00708^2 + 4\times0{,}00708\times14{,}69 \approx 0{,}415,
\sqrt{\dots} \approx 0{,}6445,
x \approx \frac{-0{,}00708 + 0{,}6445}{2} = 0{,}3187\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Como checagem rápida, a aproximação usual para ácidos fracos ( x\ll C) é x\approx\sqrt{K_a C}. Aplicando:
x\approx\sqrt{0{,}00708\times14{,}69} \approx 0{,}322,
próximo ao valor exato 0{,}319, portanto coerente.
Logo a concentração de íons hidrogênio proveniente da primeira dissociação é aproximadamente 0{,}319\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 7

Precisamos verificar se as segundas e terceiras dissociações contribuem de modo significativo para [\mathrm{H^+}].
  • Para a segunda dissociação, K_{a2}=10^{-7{,}20}=6{,}31\times10^{-8}. Após a primeira etapa temos aproximadamente [\mathrm{H_2PO_4^-}]\approx0{,}319\\ \mathrm{M}. A contribuição adicional y de \mathrm{H^+} da segunda etapa pode ser estimada por
y\approx\sqrt{K_{a2}\times[\mathrm{H_2PO_4^-}]} = \sqrt{6{,}31\times10^{-8}\times0{,}319}\approx4{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{M}.
Isto é muito pequeno comparado a 0{,}319\\ \mathrm{M} (diferença menor que 0{,}15\%), portanto desprezível.
  • A terceira dissociação tem K_{a3} ainda menor e sua contribuição é insignificante.
Portanto, a concentração total de \mathrm{H^+} é bem aproximada por x\approx0{,}319\\ \mathrm{M}.
Convertendo para pH:
\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}] = -\log_{10}(0{,}319) \approx 0{,}50.
Comentário motivador: sim, o pH é muito ácido (próximo de 0,5) porque a solução é extremamente concentrada — mesmo que o ácido não esteja 100% dissociado, a quantidade total de \mathrm{H^+} é alta.

Passo 8

Agora a parte de diluição: queremos preparar 100{,}0\\ \mathrm{mL}=0{,}1000\\ \mathrm{L} de solução 0{,}200\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} usando a solução concentrada de molaridade 14{,}69\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Mols necessários na solução final:
n_{\text{necessário}} = C_{\text{final}}\times V_{\text{final}} = 0{,}200\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}\times0{,}1000\\ \mathrm{L} = 0{,}0200\\ \mathrm{mol}.á
  • Volume da solução concentrada que contém esses mols:
V_{\text{conc}} = \frac{n_{\text{necessário}}}{C_{\text{conc}}} = \frac{0{,}0200\\ \mathrm{mol}}{14{,}69\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}} = 0{,}001361\\ \mathrm{L}.á
Convertendo para mililitros:
V_{\text{conc}} = 0{,}001361\\ \mathrm{L}\times1000\\ \mathrm{mL\;L^{-1}} = 1{,}36\\ \mathrm{mL}.
Interpretação prática: para preparar 100 mL de 0{,}200\\ \mathrm{M} basta pipetar cerca de 1{,}36\\ \mathrm{mL} da solução concentrada e completar com água até 100 mL (tomando os cuidados de segurança por ser muito cáustica).

Resposta

a) 14{,}7\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
b) \mathrm{pH}\approx0{,}50
c) 1{,}36\\ \mathrm{mL}

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