Considere o sistema
G(s)=\frac{K(s-a)}{s(s-b)}
em malha fechada com realimentação unitária. Encontre a faixa de valores do ganho K que garante a estabilidade da malha fechada quando:
a>0, b<0

Passo 1

O enunciado dá o sistema em malha fechada com realimentação unitária cujo ganho em malha aberta é
G(s)=\frac{K\,(s-a)}{s\,(s-b)},
e pede a faixa de K que garante estabilidade quando a>0 e b<0.
O conteúdo aqui é análise de estabilidade via equação característica e critério de Hurwitz (ou Routh para segundo grau).

Passo 2

Encontrar a equação característica do sistema em malha fechada:
1 + G(s) \;=\; 0 \quad\Longrightarrow\quad 1 + \frac{K\,(s-a)}{s\,(s-b)} = 0 \quad\Longrightarrow\quad s\,(s-b) + K\,(s-a) = 0.
Expandindo, obtemos o polinômio de característica
s^2 - b\,s + K\,s - K\,a = 0 \;\Longrightarrow\; s^2 + (K - b)\,s - K\,a = 0.

Passo 3

Para um polinômio de segundo grau
s^2 + \alpha\,s + \beta = 0
ser estável, é necessário e suficiente que \alpha>0 e \beta>0.
Aqui \alpha = K - b e \beta = -K\,a.

Passo 4

Impondo as condições de Hurwitz:
  1. \alpha>0,:
K - b > 0 \quad\Longrightarrow\quad K > b.
  1. \beta>0,:
-\,K\,a > 0.
Como a>0, isso dá
K < 0.
Combinando as duas desigualdades e lembrando que b<0, concluímos
b < K < 0.

Resposta

A malha fechada é estável se, e somente se,
b < K < 0.

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