Considere o sistema
G(s)=\frac{K(s-a)}{s(s-b)}
em malha fechada com realimentação unitária. Encontre a faixa de valores do ganho K que garante a estabilidade da malha fechada quando:
a>0, b>0

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha aberta
G(s)=\frac{K\,(s-a)}{s\,(s-b)}
com realimentação unitária, e pede os valores de K que garantem estabilidade em malha fechada quando a>0 e b>0.
Para isso, vamos obter o polinômio característico da malha fechada e aplicar o critério de Routh–Hurwitz (aqui, basta a condição para um polinômio de segundo grau).

Passo 2

O polinômio característico é
1+G(s)=0 \;\Longrightarrow\;1+\frac{K\,(s-a)}{s\,(s-b)}=0 \;\Longrightarrow\;s\,(s-b)+K\,(s-a)=0.
Desenvolvendo, obtemos
s^2 - b\,s + K\,s - K\,a = 0 \;\Longrightarrow\; s^2 + (K - b)\,s \;-\;K\,a = 0.

Passo 3

Para um polinômio de segundo grau
s^2 + \alpha\,s + \beta = 0
ser estável (raízes com parte real negativa) é necessário e suficiente ter
\alpha > 0 \quad\text{e}\quad \beta > 0.
Aqui
\alpha = K - b, \quad \beta = -K\,a.

Passo 4

Impondo \alpha>0 e \beta>0:
  1. \alpha>0
K - b > 0 \;\Longrightarrow\; K > b.
  1. \beta>0
-\,K\,a > 0.
Como a>0, isso implica
K < 0.
Não existe K real que seja simultaneamente >b>0 e <0.

Resposta

Não há nenhum valor real de K que torne a malha fechada estável quando a>0 e b>0.

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