Um acionamento de motor de indução trifásico, de 60 \mathrm{~Hz}, 4 polos, 440 V (linha, eficaz) tem uma velocidade (nominal) de 1746 rpm a plena carga. O torque nominal é de 40 Nm . Quando aplicadas as tensões elétricas nominais e carregado com o torque nominal, ele consome 10,39 A eficaz por fase em um fator de potência de 0,866 atrasado. R_{\mathrm{s}}=1,5 \Omega. Esse acionamento precisa desenvolver um torque de partida de 100 \% do nominal para superar o atrito de partida. Calcule f_{\text {partida }} e \hat{V}_{a, \text { partida }}.

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado):
  • Frequência da rede: 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Número de polos: 4.
  • Tensão de linha (eficaz): 440\\ \mathrm{V}.
  • Velocidade nominal (à plena carga): n_{r} = 1746\\ \mathrm{rpm}.
  • Torque nominal: T_{\text{nom}} = 40\\ \mathrm{Nm}.
  • Corrente por fase medida (às tensões nominais e torque nominal): I_{\text{ph}} = 10,39\\ \mathrm{A} (eficaz).
  • Fator de potência na condição nominal: \cos\varphi = 0,866 (atrasado).
  • Resistência do estator: R_{s}=1{,}5\\ \Omega.
  • O acionamento precisa desenvolver, na partida, um torque igual a 100\% do torque nominal (ou seja, T_{\text{partida,req}} = 40\\ \mathrm{Nm}).
O que o enunciado pede:
  • Calcular f_{\text{partida}} (a frequência de partida necessária).
  • Calcular \hat{V}_{a,\text{partida}} (a amplitude pico da tensão de fase a aplicada na partida).
Nenhuma outra informação (por exemplo: parâmetros do rotor referidos ao estator R'_r, indutâncias de fuga, reatância de magnetização, ou política exata de controle V/f adotada na partida) foi fornecida no enunciado.

Passo 2

Primeiros cálculos diretos que podemos fazer só com os dados que temos (sempre escrevendo as fórmulas e o que cada símbolo significa).
  • Velocidade síncrona (em rpm), fórmula \;n_s = \dfrac{120 f}{p} onde f é a frequência da rede ( \mathrm{Hz}) e p é o número de polos:
n_s = \frac{120\cdot 60}{4} = 1800\\ \mathrm{rpm}.
  • Escorregamento nominal (adimensional), fórmula \;s_{\text{nom}}=\dfrac{n_s-n_r}{n_s}:
s_{\text{nom}} = \frac{1800-1746}{1800} = \frac{54}{1800} = 0{,}03.
  • Velocidade angular mecânica na condição nominal (rad/s), \omega_m = 2\pi \dfrac{n_r}{60}:
\omega_m = 2\pi \cdot \frac{1746}{60} \approx 182{,}88\\ \mathrm{rad/s}.
  • Potência mecânica correspondente ao torque nominal (potência desenvolvida no eixo), usando P_{\text{mec}} = T_{\text{nom}}\cdot\omega_m:
P_{\text{mec}} = 40\cdot 182{,}88 \approx 7315{,}2\\ \mathrm{W}.
Aqui P_{\text{mec}} é a potência mecânica desenvolvida pelo motor associada ao torque informado.

Passo 3

Calcular a potência elétrica de entrada (a partir de V, I e \cos\varphi) e perdas ôhmicas no estator (a partir de R_s e I). Esses valores permitem verificar consistência dos dados.
  • Potência elétrica de entrada trifásica (ativa):
P_{\text{in}} = \sqrt{3}\,V_{\text{linha}}\,I_{\text{linha}}\,\cos\varphi.
Como nos deram V_{\text{linha}}=440\\ \mathrm{V}, I_{\text{linha}}=I_{\text{ph}}=10{,}39\\ \mathrm{A} e \cos\varphi=0{,}866, temos
P_{\text{in}} = \sqrt{3}\cdot 440 \cdot 10{,}39 \cdot 0{,}866 \approx 6862{,}3\\ \mathrm{W}.
(uso de \sqrt{3} porque a potência trifásica ativa é \sqrt{3} V_{L} I_{L}\cos\varphi.)
  • Perda ôhmica no estator (trifásica): P_{s,c} = 3 I_{\text{ph}}^{2} R_{s}.
P_{s,c} = 3\cdot (10{,}39)^2 \cdot 1{,}5 \approx 485{,}8\\ \mathrm{W}.
  • Potência elétrica disponível para o entreferro / rotor (energia que atravessa o entreferro, ignorando outras perdas) seria, em princípio,
P_{\text{gap,estimada}} \approx P_{\text{in}} - P_{s,c} - P_{\text{exc}} - \dots
onde P_{\text{exc}} representa perdas no núcleo e outras perdas (que não foram fornecidas). Mesmo ignorando perdas no núcleo (hipótese otimista), temos
P_{\text{gap,max}} \le P_{\text{in}} - P_{s,c} \approx 6862{,}3 - 485{,}8 = 6376{,}5\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Comparação importante (verificação de consistência):
  • A potência mecânica que calculamos a partir do torque nominal é P_{\text{mec}} \approx 7315{,}2\\ \mathrm{W} (Passo 2).
  • A potência elétrica de entrada disponível TOTAL é P_{\text{in}} \approx 6862{,}3\\ \mathrm{W} (Passo 3).
  • Mesmo antes de subtrair perdas (estator, núcleo, atrito, ventilação, etc.), a potência elétrica de entrada calculada é menor do que a potência mecânica correspondente ao torque nominal:
P_{\text{in}} \approx 6862{,}3\\ \mathrm{W} < P_{\text{mec}} \approx 7315{,}2\\ \mathrm{W}.
Isto é uma contradição física: não é possível que, em regime estacionário, a máquina entregue ao eixo mais potência mecânica do que a potência elétrica que ela absorve da rede.
Portanto os dados numéricos fornecidos são inconsistentes entre si (pelo menos um dos valores fornecidos — T_{\text{nom}}, I_{\text{ph}}, \cos\varphi, ou V_{\text{linha}} — não pode estar correto em conjunto com os outros).

Passo 5

Consequência prática dessa inconsistência e o que seria necessário para calcular f_{\text{partida}} e \hat{V}_{a,\text{partida}}.
  • Com os dados atuais não é possível determinar univocamente f_{\text{partida}} e \hat{V}_{a,\text{partida}}, porque já na condição nominal os valores fornecidos violam balanço energético (potência elétrica de entrada menor que potência mecânica nominal). Um cálculo de torque em partida exige consistência entre potência, correntes e tensões nominais, ou então conhecer os parâmetros elétricos do circuito equivalente (por exemplo: resistência do rotor referida R'_r, reatâncias de fuga X_s, X'_r, reatância de magnetização X_m, e também a política concreta de partida adotada pelo inversor — se mantém V/f constante, se aplica tensão nominal independentemente da frequência, se aplica reforço de tensão, etc.).
  • Se os dados fossem consistentes, o procedimento padrão para obter f_{\text{partida}} e \hat V_{a,\text{partida}} seria:
    1. Derivar (a partir dos parâmetros ou de medições) o circuito equivalente por fase do motor referindo o rotor ao estator: R_s, X_s, R'_r, X'_r, e X_m.
    2. Escrever a expressão do torque eletromagnético (em função de f, V e do escorregamento s). Usando a forma com teorema de Thevenin:
    T = \frac{3}{\omega_e}\,\frac{V_{th}^2\,(R'_r/s)}{(R_{th}+R'_r/s)^2 + X_{th}^2},
    onde V_{th},\,R_{th},\,X_{th} são a tensão e impedâncias de Thevenin vistas do rotor e \omega_e = 2\pi f é a pulsação elétrica; notar que as reatâncias variam linearmente com f.
    3. Impor a condição de partida: s_{\text{partida}}=1 e T(s=1,f_{\text{partida}},V_{\text{partida}})=T_{\text{partida,req}}. Resolver essa equação para f_{\text{partida}} (sabendo como V_{\text{partida}} é aplicado: se é tensão nominal fixa independentemente de f, ou se segue a lei V\propto f).
    4. Uma vez encontrada a tensão de fase eficaz em partida V_{\text{ph,partida}}, a amplitude pico é \hat V_{a,\text{partida}} = \sqrt{2}\,V_{\text{ph,partida}}. Se a ligação for estrela, V_{\text{ph}} = V_{\text{linha}}/\sqrt{3}; se for triângulo, V_{\text{ph}} = V_{\text{linha}}.
  • Resumindo: precisa-se de (pelo menos) um dos seguintes para prosseguir com cálculo numérico correto:
    • corrigir/confirmar os valores fornecidos (por exemplo T_{\text{nom}} ou I_{\text{ph}} ou \cos\varphi), ou
    • fornecer parâmetros do circuito equivalente referidos ao estator ( R'_r, X_s, X'_r, X_m), e informar a política de variação V versus f adotada na partida (por exemplo, tensão fixa, ou V/f constante, ou V/f com reforço).

Resposta

Não é possível determinar f_{\text{partida}} e \hat{V}_{a,\text{partida}} com os dados fornecidos, porque os valores fornecidos são inconsistentes: a potência elétrica de entrada calculada a partir de V=440\\ \mathrm{V}, I=10{,}39\\ \mathrm{A} e \cos\varphi=0{,}866 é
\;P_{\text{in}}\approx 6862{,}3\\ \mathrm{W},
o que é menor que a potência mecânica associada ao torque nominal
\;P_{\text{mec}}=T_{\text{nom}}\omega_m\approx 7315{,}2\\ \mathrm{W}.
Para resolver a questão é preciso corrigir/confirmar os dados numéricos ou fornecer os parâmetros do circuito equivalente do motor e a política de controle V(f) na partida.

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