O aço de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistência ao cisalhamento de 31 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2}. Pede-se a força P necessária para se fazer um furo de 2.5 cm de diâmetro, em uma chapa deste aço com 3 / 8^{\prime \prime} de espessura.

Exercícios de Mecânica Estrutural I - Área 2

Passo 1

O enunciado pede a força P necessária para furar uma chapa de aço por cisalhamento. Dados fornecidos pelo enunciado:
  • Limite de resistência ao cisalhamento: \tau_{ult}=31\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2.
  • Diâmetro do furo: d=2{,}5\\ \mathrm{cm} (uso esse valor porque está no enunciado; observei que a figura na imagem mostra “25 cm”, mas considero que o enunciado correto é 2{,}5\\ \mathrm{cm}; se fosse 25\\ \mathrm{cm} o resultado mudaria).
  • Espessura da chapa: t=3/8\\ \mathrm{in} (dado em polegadas na figura).
O que se pede: calcular a força P aplicada perpendicularmente que provoca o cisalhamento para produzir o furo.

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica que vamos usar (aula rapidinha):
  • A tensão de cisalhamento média é definida por
\tau=\frac{F}{A_{\text{cisalh}}},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (limite), F é a força cortante total e A_{\text{cisalh}} é a área sujeita ao cisalhamento.
  • No caso de furar uma chapa com um punção circular, o material é cortado ao longo da periferia do círculo; portanto a área de cisalhamento é a área lateral do “anel” cortado, que vale o perímetro do furo vezes a espessura da chapa. Ou seja,
A_{\text{cisalh}} = (\text{perímetro do círculo})\times t = \pi d\, t.íí
  • Reorganizando a fórmula para achar F:
F = \tau\;A_{\text{cisalh}} = \tau\;(\pi d\, t).
Explicação das variáveis:
  • \tau: limite de cisalhamento fornecido ( \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2).
  • d: diâmetro do furo (cm).
  • t: espessura da chapa (cm).
  • F: força requerida (kN, se unidades coerentes).

Passo 3

Converter a espessura de polegadas para centímetros (aula de conversão de unidades):
  • Sabemos que 1\\ \mathrm{in} = 2{,}54\\ \mathrm{cm}.
  • A espessura dada é t=3/8\\ \mathrm{in}. Primeiro calculo em decimal:
\frac{3}{8}=0{,}375\\ \mathrm{in}.
  • Converter para centímetros:
t = 0{,}375\\ \mathrm{in}\times 2{,}54\\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{in}} = 0{,}9525\\ \mathrm{cm}.
(Arredondamento consciente: mantenho 4 casas decimais para evitar erro significativo.)

Passo 4

Calcular a área de cisalhamento usando A_{\text{cisalh}}=\pi d t (passo por passo):
  • Substituo d=2{,}5\\ \mathrm{cm} e t=0{,}9525\\ \mathrm{cm}:
A_{\text{cisalh}} = \pi \cdot 2{,}5\\ \mathrm{cm}\cdot 0{,}9525\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Fazer a conta do produto numérico da área (mostrando os passos):
  • Primeiro calcule o produto 2{,}5\times 0{,}9525:
2{,}5\times 0{,}9525 = 2{,}38125\\ (\mathrm{cm}^2\\ \text{antes de multiplicar por }\pi).
  • Agora multiplico por \pi:
A_{\text{cisalh}} = \pi \times 2{,}38125 \approx 3{,}14159265\times 2{,}38125 \approx 7{,}481\\ \mathrm{cm}^2.
(Arredondei para três casas significativas neste passo: 7{,}481\\ \mathrm{cm}^2.)

Passo 6

Calcular a força F usando F=\tau A_{\text{cisalh}}:
  • Substituo \tau=31\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2 e A_{\text{cisalh}}\approx 7{,}481\\ \mathrm{cm}^2:
F = 31\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2 \times 7{,}481\\ \mathrm{cm}^2 = 231{,}911\\ \mathrm{kN}.
  • Arredondando de maneira adequada para três algarismos significativos (coerente com dados dados), temos
F \approx 231{,}9\\ \mathrm{kN}.

Passo 7

Verificação rápida de unidades e sentido físico:
  • \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2 \times \mathrm{cm}^2 = \mathrm{kN}, então unidades coerentes.
  • Ordem de grandeza faz sentido: furar uma chapa metálica exige dezenas a centenas de kN dependendo do diâmetro e espessura — resultado coerente.

Resposta

\;P=231{,}9\\ \mathrm{kN}

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