Um eixo circular vazado de aço tem comprimento L=1,5 \mathrm{~m} e diâmetros interno e externo iguais a 40 e 60 mm , respectivamente:
3.2 (Exemplo) Considerando o elemento do Exemplo 3.1. Qual valor de momento de torção deve ser aplicado à extremidade do eixo de maneira que o ângulo de torção produzido seja de 2^{\circ} ? Considerar eixo constituído de aço, com módulo de elasticidade transversal G=77 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado pede: “Qual valor de momento de torção deve ser aplicado à extremidade do eixo de maneira que o ângulo de torção produzido seja de 2^\circ ?”.
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
L = 1{,}5\\ \mathrm{m}
d_i = 40\\ \mathrm{mm} = 0{,}040\\ \mathrm{m}
d_o = 60\\ \mathrm{mm} = 0{,}060\\ \mathrm{m}
G = 77\\ \mathrm{GPa} = 77\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}
\text{ângulo de torção desejado } \varphi = 2^\circâçã
A pergunta concreta é: determinar o momento de torção T (em \mathrm{N\cdot m}) que produz \varphi=2^\circ no eixo descrito.

Passo 2

Apresento a fórmula básica que relaciona torque, rigidez e ângulo de torção para um eixo circular (lei da torção linear elástica):
\varphi = \frac{T\,L}{J\,G}.
Explicando cada símbolo de forma clara:
  • \varphi é o ângulo de torção em radianos (atenção: precisamos sempre usar radianos nas fórmulas);
  • T é o momento de torção (o que queremos encontrar), em \mathrm{N\cdot m};
  • L é o comprimento do eixo, em \mathrm{m};
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (também chamado de segundo momento polar), em \mathrm{m^4};
  • G é o módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento), em \mathrm{Pa}.
Da fórmula isolamos T:
T = \frac{\varphi\,J\,G}{L}.
Antes de calcular, precisamos obter J e converter \varphi para radianos.

Passo 3

Fórmula para o momento polar de inércia de um eixo circular vazado (hollow cylinder) usando diâmetros:
J = \frac{\pi}{32}\left(d_o^{4} - d_i^{4}\right).
Aqui d_o e d_i são os diâmetros externo e interno em metros. Vou calcular passo a passo:
Calcular as potências:
d_o^{4} = (0{,}060)^{4} = 0{,}00001296 = 1{,}296\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}},
d_i^{4} = (0{,}040)^{4} = 0{,}00000256 = 2{,}56\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.
Diferença:
d_o^{4}-d_i^{4} = 1{,}296\times10^{-5} - 2{,}56\times10^{-6} = 1{,}04\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}.
Agora aplico o fator \pi/32:
J = \frac{\pi}{32}\left(1{,}04\times10^{-5}\right).
Calculemos numericamente:
\frac{\pi}{32}\approx0{,}0981747704,
J \approx 0{,}0981747704\times 1{,}04\times10^{-5} \approx 1{,}0206\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.
Portanto:
J \approx 1{,}0206\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 4

Converter o ângulo pedido de graus para radianos. Lembre que 180^\circ=\pi rad.
\varphi = 2^\circ = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90}\\ \text{rad}.
Valor numérico aproximado:
\varphi \approx 0{,}034906585\\ \text{rad}.

Passo 5

Agora substituímos na expressão de T:
T = \frac{\varphi\,J\,G}{L}.
Calcule por etapas para ficar claro:
  1. Produto J\,G:
J\,G \approx \left(1{,}0206\times10^{-6}\right)\times\left(77\times10^{9}\right)
J\,G \approx 7{,}8590\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.
  1. Multiplicar por \varphi:
\varphi\,J\,G \approx 0{,}034906585\times 7{,}8590\times10^{4} \approx 2{,}7433\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.
  1. Dividir por L=1{,}5\\ \mathrm{m}:
T \approx \frac{2{,}7433\times10^{3}}{1{,}5} \approx 1{,}8289\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: o resultado é da ordem de 10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}, ou seja, cerca de alguns quilonewton-metro. Para apresentação usual, arredondo para três algarismos significativos:
T \approx 1{,}83\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Pequena checagem de coerência: para um eixo de diâmetro externo 60\\ \mathrm{mm} isso é razoável — não é um número absurdo.
Força de ânimo: você já fez o passo mais importante — listar dados, colocar fórmulas e calcular em etapas. Isso é exatamente o que se pede na prova.

Resposta

T \approx 1{,}83\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}

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