Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de K podem ser consideradas funções densidade de probabilidade. Calcule
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (1) verificar para quais valores de
a função dada pode ser uma função densidade de probabilidade; (2) calcular
; (3) calcular
.
As informações fornecidas são: a função é
As informações fornecidas são: a função
Não há outras informações adicionais.]
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significa ser uma função densidade de probabilidade (sem nomear a matéria): são duas condições obrigatórias:
- A função deve ser não negativa em todo
: isto é, para todo . - A integral da função sobre toda a linha real deve ser
: .
Vou verificar essas duas condições para a função dada.
Passo 3
Verificação da não negatividade. Para
fora de
a função vale
, então está OK. Para
em
temos
. Note que, para
,
ou seja,
. Portanto, em
a função é
e isso será não negativo se e somente se
. Guardamos essa condição.
Passo 4
Agora a condição de normalização: a integral de
em toda a reta deve ser
. Como
é zero fora de
, basta integrar em
:
Vamos calcular a integral e encontrar
.
Passo 5
Cálculo da integral para normalizar:
Calcule a integral interna:
Logo
Passo 6
Verificamos a não negatividade com o valor encontrado:
, e como
em
, temos
em todo lugar. Portanto
torna
uma densidade válida. Concluímos que o único
que satisfaz ambas as condições é
.
Passo 7
Agora calculamos
. Lembrete (fórmula): a esperança de uma variável contínua com densidade
é
No nosso caso,
em
e zero fora, então
Passo 8
Calcule a integral para
:
Multiplicando pelo fator
temos
Passo 9
Para a variância usamos a fórmula
onde
Vamos calcular
com a mesma densidade.
Passo 10
Cálculo de
:
Calcule a integral:
Multiplicando pelo
:
Passo 11
Agora a variância:
Calcule
. Faça a diferença com denominador comum
:
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