Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de K podem ser consideradas funções densidade de probabilidade. Calcule E(X)\) e Var(X). \(f(x)= \begin{cases}K(2-x) & \text { se } 0 \leq \mathrm{x} \leq 1 \\\\ 0 & \text { se } \mathrm{x}<0 \text { ou } \mathrm{x}>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (1) verificar para quais valores de K a função dada pode ser uma função densidade de probabilidade; (2) calcular E(X); (3) calcular \operatorname{Var}(X).
As informações fornecidas são: a função f é
f(x)= \begin{cases}K(2-x) & \text{se } 0 \leq x \leq 1,\\[4pt] 0 & \text{se } x<0 \text{ ou } x>1.\end{cases}
Não há outras informações adicionais.]

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa ser uma função densidade de probabilidade (sem nomear a matéria): são duas condições obrigatórias:
  1. A função deve ser não negativa em todo x: isto é, f(x)\ge 0 para todo x.
  2. A integral da função sobre toda a linha real deve ser 1: \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Vou verificar essas duas condições para a função dada.

Passo 3

Verificação da não negatividade. Para x fora de [0,1] a função vale 0, então está OK. Para x em [0,1] temos 2-x. Note que, para 0\le x\le 1,
2-x \in [1,2],
ou seja, 2-x>0. Portanto, em [0,1] a função é f(x)=K(2-x) e isso será não negativo se e somente se K\ge 0. Guardamos essa condição.

Passo 4

Agora a condição de normalização: a integral de f em toda a reta deve ser 1. Como f é zero fora de [0,1], basta integrar em [0,1]:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} K(2-x)\,dx = 1.
Vamos calcular a integral e encontrar K.

Passo 5

Cálculo da integral para normalizar:
\int_{0}^{1} K(2-x)\,dx = K\int_{0}^{1} (2-x)\,dx.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{1} (2-x)\,dx = \left[2x - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \left(2\cdot 1 - \frac{1^{2}}{2}\right) - 0 = 2 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.
Logo
K\cdot \tfrac{3}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad K = \frac{2}{3}.

Passo 6

Verificamos a não negatividade com o valor encontrado: K=\tfrac{2}{3}>0, e como 2-x\ge 1 em [0,1], temos f(x)=\tfrac{2}{3}(2-x)\ge 0 em todo lugar. Portanto K=\tfrac{2}{3} torna f uma densidade válida. Concluímos que o único K que satisfaz ambas as condições é K=\tfrac{2}{3}.

Passo 7

Agora calculamos E(X). Lembrete (fórmula): a esperança de uma variável contínua com densidade f é
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
No nosso caso, f(x)=\tfrac{2}{3}(2-x) em [0,1] e zero fora, então
E(X)=\int_{0}^{1} x\cdot \frac{2}{3}(2-x)\,dx = \frac{2}{3}\int_{0}^{1} (2x - x^{2})\,dx.

Passo 8

Calcule a integral para E(X):
\int_{0}^{1} (2x - x^{2})\,dx = \left[x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{2}{3} temos
E(X) = \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}.

Passo 9

Para a variância usamos a fórmula
\operatorname{Var}(X) = E(X^{2}) - \big(E(X)\big)^{2},
onde
E(X^{2})=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx.
Vamos calcular E(X^{2}) com a mesma densidade.

Passo 10

Cálculo de E(X^{2}):
E(X^{2}) = \int_{0}^{1} x^{2}\cdot \frac{2}{3}(2-x)\,dx = \frac{2}{3}\int_{0}^{1} (2x^{2}-x^{3})\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{1} (2x^{2}-x^{3})\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3} - \frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}.
Multiplicando pelo \tfrac{2}{3}:
E(X^{2}) = \frac{2}{3}\cdot \frac{5}{12} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}.

Passo 11

Agora a variância:
\operatorname{Var}(X) = E(X^{2}) - \big(E(X)\big)^{2} = \frac{5}{18} - \left(\frac{4}{9}\right)^{2}.
Calcule \left(\tfrac{4}{9}\right)^{2} = \tfrac{16}{81}. Faça a diferença com denominador comum 162:
\frac{5}{18} = \frac{45}{162},\qquad \frac{16}{81} = \frac{32}{162},
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\operatorname{Var}(X) = \frac{45}{162} - \frac{32}{162} = \frac{13}{162}.

Resposta

K=\dfrac{2}{3}
E(X)=\dfrac{4}{9}
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{13}{162}

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