Um dado (hexaedro) é lançado 60 vezes e são observados os seguintes resultados descritos na seguinte tabela, sendo F_{O} a frequência observada e F_{e} a frequência esperada. Verifique se o dado pode ser considerado honesto ou viciado.
Face do Dado \mathrm{F}_{\mathrm{o}} \mathrm{F}_{\mathrm{e}}
1 8 10
2 10 10
3 9 10
4 12 10
5 10 10
6 11 10
Total 60 60

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o dado pode ser considerado honesto ou viciado, a partir das frequências observadas em 60 lançamentos. Informações dadas (retiradas da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c|c} \text{Face} & F_{o} & F_{e} \\\ \hline 1 & 8 & 10\\\\ 2 & 10 & 10\\\\ 3 & 9 & 10\\\\ 4 & 12 & 10\\\\ 5 & 10 & 10\\\\ 6 & 11 & 10\\\ \hline \text{Total} & 60 & 60 \end{array}
Pergunta concreta: com esses dados, podemos considerar o dado honesto (ou seja, todas as faces com probabilidade igual) ou há evidência de que ele é viciado?

Passo 2

Hipóteses do teste (forma padrão para teste de bondade de ajuste de um dado):
H_0:\\ \text{o dado é honesto, ou seja }P(\text{cada face})=\tfrac{1}{6}é
H_1:\\ \text{o dado não é honesto (alguma face tem probabilidade diferente de }\tfrac{1}{6})ãé
Explicação: H_0 é a hipótese de interesse (dado justo). O teste verifica se as diferenças entre F_o e F_e são grandes o suficiente para duvidar de H_0.

Passo 3

Escolha do nível de significância: vou usar o nível clássico \alpha=0,05 (5%). Explicação prática: esse é o critério mais comum em provas e trabalhos; significa que aceitaremos até 5% de chance de rejeitar H_0 quando ele for verdadeiro.

Passo 4

Método escolhido e fórmula (teste qui-quadrado de aderência):
\chi^{2}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(F_{o,i}-F_{e,i})^{2}}{F_{e,i}}
onde k é o número de categorias (aqui k=6), F_{o,i} é a frequência observada da i-ésima face e F_{e,i} é a frequência esperada segundo H_0. Interpretação: cada parcela \frac{(F_o-F_e)^2}{F_e} mede o “desvio padronizado” ao quadrado naquela categoria; somando obtemos uma medida global de desajuste.

Passo 5

Verificação das frequências esperadas: pelo enunciado já temos F_{e}=10 para cada face (pois 60 lançamentos e P(\text{cada face})=1/6\Rightarrow 60/6=10). Estou usando exatamente os valores de F_e que vieram na tabela.

Passo 6

Cálculo das contribuições de cada face (uso direto os pares F_o e F_e da tabela):
\begin{aligned} \text{Face 1: } & \frac{(8-10)^2}{10}=\frac{4}{10}=0,4\\\ \text{Face 2: } & \frac{(10-10)^2}{10}=\frac{0}{10}=0,0\\\ \text{Face 3: } & \frac{(9-10)^2}{10}=\frac{1}{10}=0,1\\\ \text{Face 4: } & \frac{(12-10)^2}{10}=\frac{4}{10}=0,4\\\ \text{Face 5: } & \frac{(10-10)^2}{10}=\frac{0}{10}=0,0\\\ \text{Face 6: } & \frac{(11-10)^2}{10}=\frac{1}{10}=0,1 \end{aligned}
Comentário: escrevi cada passo para você poder reproduzir rápido na prova — calcule F_o-F_e, eleve ao quadrado, divida por F_e.

Passo 7

Somando as contribuições obtemos o estatístico \chi^2:
\chi^{2}=0,4+0,0+0,1+0,4+0,0+0,1=1,0

Passo 8

Graus de liberdade e regra de decisão:
\text{graus de liberdade }=k-1=6-1=5.
Regra de decisão para \alpha=0,05: rejeitar H_0 se \chi^{2}>\chi^{2}_{0,05;5}, onde \chi^{2}_{0,05;5} é o quantil crítico da distribuição qui-quadrado com 5 graus de liberdade.

Passo 9

Valor crítico e conclusão numérica: pela tabela da qui-quadrado (valor padrão consultado em tabelas):
\chi^{2}_{0,05;5}=11,070.
Comparando: \chi^{2}_{\text{observado}}=1,0 é muito menor que 11,070. Portanto não rejeitamos H_0.

Passo 10

Interpretação final (como explicar na prova): o valor observado de \chi^{2}=1,0 indica que as variações entre F_o e F_e são pequenas e podem ser atribuídas ao acaso dos 60 lançamentos. Não há evidência estatística, ao nível \alpha=0,05, de que o dado seja viciado. Em termos práticos: podemos considerar o dado honesto com esses dados.

Resposta

O dado pode ser considerado honesto; não há evidência para afirmar que é viciado ( \chi^{2}=1,0, gl=5, valor crítico \chi^{2}_{0,05;5}=11,070).

Exercícios relacionados