O que acontece com a média, a mediana e a moda de uma série estatıstica quando:
(a) cada observação é multiplicada por 2?
(b) soma-se 10 a cada observação?

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente veja o que acontece com as três medidas de tendência central – média, mediana e moda – quando a gente aplica duas transformações lineares aos dados:
  • (a) multiplica cada observação por 2
  • (b) soma 10 a cada observação
O conteúdo aqui é estatística descritiva, mais especificamente as propriedades de transformações lineares sobre medidas de posição. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Definir cada medida (média, mediana, moda).
  2. Entender como a fórmula ou a construção de cada medida reage a uma função do tipo .

Passo 2

Transformação (a): “multiplicar cada observação por 2”, ou seja, se os dados originais são yi = 2,xi forall i, passamos a ter
bar y = 1nsumi=1^n yi = 1nsumi=1^n (2xi) = 2;1nsumi=1^n xi = 2,bar x
  1. Média
    • Definição: tilde y = 2,tilde x .
    • Após a transformação:
    Ou seja, a média dobra.
  2. Mediana
    • Definição: é o valor central dos dados ordenados.
    • Se originalmente a mediana é , depois de multiplicar tudo por 2 você ordena os (que têm a mesma ordem dos ), e o ponto central vira
    Porque multiplicar todo mundo por 2 só estica a escala.
  3. Moda
    • Definição: valor que aparece com maior frequência nos dados.
    • Se era a moda original, será o valor mais frequente na nova lista. Logo a moda também dobra.

Passo 3

Transformação (b): “somar 10 a cada observação”, ou seja,
zi = xi + 10 forall i
  1. Média
    bar z = 1nsumi=1^n zi = 1nsumi=1^n (xi + 10) = bar x + 10ncdot n = bar x + 10
    A média aumenta em 10.
  2. Mediana
    Ordenando os tilde z = tilde x + 10 , o elemento central será
    Porque somar 10 a todo mundo só “puxa” a mediana 10 unidades para cima.
  3. Moda
    Se era a moda, somar 10 em tudo faz com que o valor que mais aparece seja . Logo, a moda também aumenta em 10.

Resposta

(a) Multiplicar cada observação por 2:
  • Média →
  • Mediana →
  • Moda →
(b) Somar 10 a cada observação:
  • Média →
  • Mediana →
  • Moda →

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