O que acontece se você tentar integração por partes para calcular integral e^a x cosh a x d x ? Calcule esta integral por outro método.

Passo 1

O enunciado pede para ver o que acontece ao usar integração por partes em integral e^axcosh(ax),dx e, em seguida, calcular essa integral por outro método. O conteúdo envolve integração indefinida de funções exponenciais e hiperbólicas, e vamos usar tanto técnicas de partes quanto manipulação de exponenciais.

Passo 2

Se tentarmos integração por partes, tome u = e^ax e dv = cosh(ax),dx. Assim,
u = e^ax, dv = cosh(ax),dx, du = a e^ax,dx, v = sinh(ax)a

Passo 3

Aplicando partes:
integral e^axcosh(ax),dx = underbracee^axcdot sinh(ax)a e^axsinh(ax)a - integral sinh(ax)a,a e^ax,dx = e^axsinh(ax)a - integral e^axsinh(ax),dx Se repetirmos a mesma ideia em integral e^axsinh(ax),dx, voltamos a uma expressão que envolve integral e^axcosh(ax),dx, gerando um sistema que não isola diretamente a integral original sem manipulações extras.

Passo 4

Para evitar esse laço, usamos a definição de cosh(ax) em termos de exponenciais:
cosh(ax) = e^ax + e^-ax2 Logo,
e^axcosh(ax) = e^axcdot e^ax + e^-ax2 = e^2ax + 12

Passo 5

A integral torna-se:
integral e^axcosh(ax),dx = integral e^2ax + 12,dx = 12integral e^2ax,dx + 12integral 1,dx

Passo 6

Integrando cada termo:
12integral e^2ax,dx = 12cdot e^2ax2a = e^2ax4a, 12integral 1,dx = x2 Somando as partes, temos a primitiva desejada.

Resposta

integral e^axcosh(ax),dx = e^2ax4a + x2 + C.

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