Mostre que
integral e^a x sin b x d x=e^a x(a sen b x-b cos b x)a^2+b^2+C.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral I=integral e^axsin(bx),dx. Vamos usar o método de integração por partes, que é apropriado quando o integrando é produto de funções cujas derivadas e integrais são conhecidas.
A fórmula de integração por partes é integral u,dv = u,v - integral v,du. Precisamos escolher funções u e dv de modo que du e v sejam fáceis de obter.

Passo 2

Escolhendo na primeira aplicação:
u = sin(bx), dv = e^ax,dx
Então
du = bcos(bx),dx, v = e^axa
Substituindo na fórmula de partes:
I = e^axsin(bx)a - baintegral e^axcos(bx),dx

Passo 3

Para a integral integral e^axcos(bx),dx fazemos partes de novo, escolhendo:
u = cos(bx), dv = e^ax,dx
Assim
du = -bsin(bx),dx, v = e^axa
Logo
integral e^axcos(bx),dx = e^axcos(bx)a + baintegral e^axsin(bx),dx

Passo 4

Denotando I=integral e^axsin(bx),dx e substituindo a segunda integral na expressão anterior, obtemos:
I = e^axsin(bx)a - bal(e^axcos(bx)a + baIr)
Distribuindo e reorganizando:
I = e^axsin(bx)a - b,e^axcos(bx)a^2 - b^2a^2I

Passo 5

Agora isolamos I. Somando b^2a^2I de ambos os lados:
Il(1 + b^2a^2r) = e^axa^2l(asin(bx) - bcos(bx)r)
Como 1 + b^2a^2 = a^2 + b^2a^2, segue:
I = e^axa^2 + b^2l(asin(bx) - bcos(bx)r) + C

Resposta

integral e^a x sin b x,dx = e^a xl(asin(bx)-bcos(bx)r)a^2+b^2+C.

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