Mostre que
.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral
. Vamos usar o método de integração por partes, que é apropriado quando o integrando é produto de funções cujas derivadas e integrais são conhecidas.
A fórmula de integração por partes é . Precisamos escolher funções
e
de modo que
e
sejam fáceis de obter.
A fórmula de integração por partes é
Passo 2
Escolhendo na primeira aplicação:
Então
Substituindo na fórmula de partes:
Passo 3
Para a integral
fazemos partes de novo, escolhendo:
Assim
Logo
Passo 4
Denotando
e substituindo a segunda integral na expressão anterior, obtemos:
Distribuindo e reorganizando:
Passo 5
Agora isolamos
. Somando
de ambos os lados:
Como
, segue: