Resolva as equaçöes diferenciais ordinárias usando a condição inicial dada.
d yd x=3 sen x+5 cos x-7 e^x, onde y(pi)=0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial ordinária $ \frac{dy}{dx} = 3 \sin x + 5 \cos x - 7 e^{x} $, sabendo que $ y(\pi) = 0 $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos integrar o lado direito em relação a $ x $ e depois usar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar ambos os lados da equação. A equação é:
dydx = 3 sin x + 5 cos x - 7 e^x
Integrando em relação a $ x $:
x
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. $ \int 3 \sin x , dx = -3 \cos x $
    (Porque a integral de $ \sin x $ é $ -\cos x $)
  2. $ \int 5 \cos x , dx = 5 \sin x $
    (Porque a integral de $ \cos x $ é $ \sin x $)
  3. $ \int -7 e^{x} , dx = -7 e^{x} $
    (Porque a integral de $ e^{x} $ é $ e^{x} $)
Juntando tudo:
integral 3 sin x , dx = -3 cos x

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial $ y(\pi) = 0 $ para encontrar $ C $.
Substituindo $ x = \pi $ na equação de $ y(x) $:
y(pi) = 0
Sabemos que:
  • $ \cos \pi = -1 $
  • $ \sin \pi = 0 $
Então:
C

Passo 5

Isolando $ C $:
C

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:
y(x) = -3 cos x + 5 sin x - 7 e^x + 7 e^pi - 3

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