Resolva as equaçöes diferenciais ordinárias usando a condição inicial dada.
, onde
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial ordinária $ \frac{dy}{dx} = 3 \sin x + 5 \cos x - 7 e^{x} $, sabendo que $ y(\pi) = 0 $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos integrar o lado direito em relação a $ x $ e depois usar a condição inicial para achar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar ambos os lados da equação. A equação é:
Integrando em relação a $ x $:
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
-
$ \int 3 \sin x , dx = -3 \cos x $
(Porque a integral de $ \sin x $ é $ -\cos x $) -
$ \int 5 \cos x , dx = 5 \sin x $
(Porque a integral de $ \cos x $ é $ \sin x $) -
$ \int -7 e^{x} , dx = -7 e^{x} $
(Porque a integral de $ e^{x} $ é $ e^{x} $)
Juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial $ y(\pi) = 0 $ para encontrar $ C $.
Substituindo $ x = \pi $ na equação de $ y(x) $:
Sabemos que:
- $ \cos \pi = -1 $
- $ \sin \pi = 0 $
Então:
Passo 5
Isolando $ C $:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é: