Resolva as equaçöes diferenciais ordinárias usando a condição inicial dada.
d yd x=2x^2 / 3-3x, onde y(-1)=-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que é assim: dydx = 2x^2/3 - 3x, e a gente sabe que quando x = -1, y = -5. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem, e para resolver vamos precisar integrar a função da derivada para achar y.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a integração. A equação é:
dydx = 2x^2/3 - 3x
Isso significa que y é a integral dessa expressão em relação a x.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
y = integral 2x^2/3 dx - integral 3x dx + C
Onde C é a constante de integração. Vamos resolver cada integral:
Para o primeiro termo:
integral 2x^2/3 dx = 2 integral x^-2/3 dx = 2 cdot x^( -2/3 ) +1(-2/3) +1 = 2 cdot x^1/31/3 = 6x^1/3
Para o segundo termo:
integral 3x dx = 3 ln|x|
Então, juntando tudo:
y = 6x^1/3 - 3ln|x| + C

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de C. Sabemos que quando x = -1, y = -5. Vamos substituir esses valores na equação:
-5 = 6(-1)^1/3 - 3ln|-1| + C
Sabemos que (-1)^1/3 = -1 e ln(1) = 0, então:
-5 = 6(-1) - 3(0) + C -5 = -6 + C C = -5 + 6 C = 1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 6x^1/3 - 3ln|x| + 1

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