De acordo com a equação 4 x^{3}+2 x^{2}-x-3=0, determine as relações de Girard envolvendo as raízes \mathrm{x} 1, \mathrm{x} 2 \mathrm{e} \mathrm{x} 3.

Passo 1

O enunciado dá a equação polinomial \,4x^{3}+2x^{2}-x-3=0 e pede para determinar as relações de Girard (ou Viète) envolvendo as raízes \,x_{1},x_{2} e x_{3}.\n
Informações relevantes fornecidas:
\,4x^{3}+2x^{2}-x-3=0 (ou seja, os coeficientes do polinômio são conhecidos).

Passo 2

Ideia geral (explicação do que vamos usar): para um polinômio cúbico geral com coeficiente líder a
a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0
e raízes \,x_{1},x_{2},x_{3}, podemos escrever o polinômio como produto
a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).
Ao expandir esse produto obtemos a relação entre os coeficientes a,b,c,d e as somas e produtos das raízes. Vou expandir simbolicamente para você ver de onde vêm as fórmulas.

Passo 3

Expansão simbólica (aula curta de Álgebra): expandindo
a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})
temos primeiro
(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}) = x^{3} - (x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2} + (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3}.
Multiplicando por a obtemos
a x^{3} - a(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2} + a(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - a x_{1}x_{2}x_{3}.
Comparando termo a termo com a x^{3}+b x^{2}+c x+d chegamos às fórmulas gerais (essas são as relações de Girard/Viète para o cúbico).

Passo 4

Escrevendo explicitamente as igualdades entre os coeficientes:
b = -a(x_{1}+x_{2}+x_{3}),
c = a(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}),
d = -a\,x_{1}x_{2}x_{3}.
Isolando as somas e produtos das raízes obtemos as formas usuais:
x_{1}+x_{2}+x_{3} = -\frac{b}{a},
x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} = \frac{c}{a},
x_{1}x_{2}x_{3} = -\frac{d}{a}.
Aqui eu expliquei o porquê dos sinais alternados: eles vêm diretamente da expansão de (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).

Passo 5

Agora aplicamos isso ao nosso polinômio dado. Identificamos os coeficientes:
a=4,\quad b=2,\quad c=-1,\quad d=-3.
Substituindo nas fórmulas:
calculemos \,x_{1}+x_{2}+x_{3}:
x_{1}+x_{2}+x_{3} = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}.
Calculemos \,x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}:
x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} = \frac{c}{a} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}.
Calculemos \,x_{1}x_{2}x_{3}:
x_{1}x_{2}x_{3} = -\frac{d}{a} = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4}.

Passo 6

Pronto! Essas três igualdades são exatamente as relações de Girard pedidas. Você agora sabe de onde elas vêm (da fatoração e expansão) e como aplicar diretamente ao polinômio usando os coeficientes.

Resposta

\,x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\tfrac{1}{2}\n
\,x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=-\tfrac{1}{4}\n
\,x_{1}x_{2}x_{3}=\tfrac{3}{4}

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