De acordo com a equação
, determine as relações de Girard envolvendo as raízes
.
Passo 1
O enunciado dá a equação polinomial
e pede para determinar as relações de Girard (ou Viète) envolvendo as raízes
e
.\n
Informações relevantes fornecidas:
(ou seja, os coeficientes do polinômio são conhecidos).
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Ideia geral (explicação do que vamos usar): para um polinômio cúbico geral com coeficiente líder
e raízes
, podemos escrever o polinômio como produto
Ao expandir esse produto obtemos a relação entre os coeficientes
e as somas e produtos das raízes. Vou expandir simbolicamente para você ver de onde vêm as fórmulas.
Passo 3
Expansão simbólica (aula curta de Álgebra): expandindo
temos primeiro
Multiplicando por
obtemos
Comparando termo a termo com
chegamos às fórmulas gerais (essas são as relações de Girard/Viète para o cúbico).
Passo 4
Escrevendo explicitamente as igualdades entre os coeficientes:
Isolando as somas e produtos das raízes obtemos as formas usuais:
Aqui eu expliquei o porquê dos sinais alternados: eles vêm diretamente da expansão de
.
Passo 5
Agora aplicamos isso ao nosso polinômio dado. Identificamos os coeficientes:
Substituindo nas fórmulas:
calculemos :
calculemos
Calculemos
:
Calculemos
:
Passo 6
Pronto! Essas três igualdades são exatamente as relações de Girard pedidas. Você agora sabe de onde elas vêm (da fatoração e expansão) e como aplicar diretamente ao polinômio usando os coeficientes.