De acordo com o que estudamos em sala, defina o que significa uma função
ser diferenciável no ponto
.
Passo 1
A questão pede a definição de diferenciabilidade para uma função de duas variáveis, ou seja, dado f: ℝ²→ℝ, queremos saber o que significa que f seja diferenciável no ponto (a,b). Para resolver precisamos conhecer o conceito de derivadas parciais e de aproximação linear numa vizinhança do ponto.
Passo 2
Para dizer que f é diferenciável em (a,b), usamos a ideia de que o incremento Δf = f(a+h, b+k) – f(a,b) deve ser bem aproximado pela sua parte linear, dada pelas derivadas parciais de f em (a,b).
Chamamos de diferencial total de f em (a,b) o mapeamento linear L(h,k) = f_x(a,b)·h + f_y(a,b)·k, onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f. A função f é diferenciável em (a,b) se o erro entre Δf e L(h,k) for infinitamente menor que o tamanho do vetor (h,k).
Chamamos de diferencial total de f em (a,b) o mapeamento linear L(h,k) = f_x(a,b)·h + f_y(a,b)·k, onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f. A função f é diferenciável em (a,b) se o erro entre Δf e L(h,k) for infinitamente menor que o tamanho do vetor (h,k).
Passo 3
Formalmente, f é diferenciável em (a,b) se existir uma função ε(h,k) tal que
com
. Nesse caso dizemos que o diferencial existe e coincide com L.
Passo 4
Esse critério garante que o gráfico de f em torno de (a,b) é bem aproximado pelo plano tangente definido por L.
Resposta
Uma função f(x,y) é diferenciável em (a,b) se existir uma aproximação linear dada pelas derivadas parciais em (a,b) tal que, ao escrevermos Δf = f(a+h,b+k) – f(a,b), temos
i.e., o resto (o(| (h,k) |)) é desprezível em relação a
. Equivalente a:
com
quando
.