De acordo com o que estudamos em sala, defina o que significa uma função f(x, y) ser diferenciável no ponto (a, b).

Passo 1

A questão pede a definição de diferenciabilidade para uma função de duas variáveis, ou seja, dado f: ℝ²→ℝ, queremos saber o que significa que f seja diferenciável no ponto (a,b). Para resolver precisamos conhecer o conceito de derivadas parciais e de aproximação linear numa vizinhança do ponto.

Passo 2

Para dizer que f é diferenciável em (a,b), usamos a ideia de que o incremento Δf = f(a+h, b+k) – f(a,b) deve ser bem aproximado pela sua parte linear, dada pelas derivadas parciais de f em (a,b).
Chamamos de diferencial total de f em (a,b) o mapeamento linear L(h,k) = f_x(a,b)·h + f_y(a,b)·k, onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f. A função f é diferenciável em (a,b) se o erro entre Δf e L(h,k) for infinitamente menor que o tamanho do vetor (h,k).

Passo 3

Formalmente, f é diferenciável em (a,b) se existir uma função ε(h,k) tal que
f(a+h, b+k) - f(a,b) = fx(a,b),h + fy(a,b),k + |(h,k)|,varepsilon(h,k),
com lim(h,k)to(0,0)varepsilon(h,k)=0. Nesse caso dizemos que o diferencial existe e coincide com L.

Passo 4

Esse critério garante que o gráfico de f em torno de (a,b) é bem aproximado pelo plano tangente definido por L.

Resposta

Uma função f(x,y) é diferenciável em (a,b) se existir uma aproximação linear dada pelas derivadas parciais em (a,b) tal que, ao escrevermos Δf = f(a+h,b+k) – f(a,b), temos
Δf = fx(a,b),h + fy(a,b),k + o(raizh^2+k^2),
i.e., o resto (o(| (h,k) |)) é desprezível em relação a raizh^2+k^2. Equivalente a:
f(a+h,b+k)-f(a,b)=fx(a,b)h+fy(a,b)k+|(h,k)|varepsilon(h,k),
com varepsilon(h,k)to0 quando (h,k)to(0,0).

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