Encontre a derivada da função dada pela composição das seguintes funções:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de uma função que é a composição de duas outras funções. As funções envolvidas são:
- $ f(x, y) = x \ln(x + y) $
- $ r(t) = \left( t, \frac{1}{t} \right) $
O que isso significa é que vamos primeiro substituir as funções $ x $ e $ y $ na função $ f $ pelas expressões que temos em $ r(t) $. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e usar a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função composta $ f(r(t)) $. Isso significa que substituímos $ x $ por $ t $ e $ y $ por $ \frac{1}{t} $ na função $ f $. Então temos:
Agora, nossa missão é encontrar a derivada dessa expressão em relação a $ t $.
Passo 3
Para derivar $ f(r(t)) $, vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, quando uma função está dentro da outra. No nosso caso, $ f $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $. A regra da cadeia para funções de várias variáveis é:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, e também as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = x \ln(x + y) $:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
Explicando: Derivamos $ x $ que dá 1, multiplicado por $ \ln(x + y) $, mais $ x $ vezes a derivada de $ \ln(x + y) $, que é $ \frac{1}{x + y} $.
- Derivada parcial em relação a $ y $:
Aqui, $ x $ é tratado como constante, e a derivada de $ \ln(x + y) $ em relação a $ y $ é $ \frac{1}{x + y} $, multiplicado por $ x $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $ a partir da função $ r(t) = \left( t, \frac{1}{t} \right) $:
- Derivada de $ x(t) = t $ em relação a $ t $:
- Derivada de $ y(t) = \frac{1}{t} $ em relação a $ t $:
Isso porque a derivada de $ t^{-1} $ é $ -t^{-2} $.
Passo 6
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia que mencionamos no Passo 3, substituindo as derivadas que calculamos:
Explicando: Multiplicamos cada derivada parcial pela respectiva derivada de $ x $ ou $ y $ em relação a $ t $.
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, simplificamos $ t + \frac{1}{t} $:
Agora, substituímos de volta:
Simplificando $ \frac{t}{\frac{t^2 + 1}{t}} = \frac{t2}{t2 + 1} $, então:
Simplificando mais:
Finalmente, combinando os termos:
Resposta
A derivada da função composta é: