A função
f(x, y)= x^2 yx^2 y, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O exercício pergunta se a função f(x,y), definida por f(x,y)=\frac{x{2}y}{x{2}y} para (x,y)≠(0,0) e f(0,0)=0, é contínua em (0,0). O que precisamos fazer é calcular lim(x,y)to(0,0)f(x,y) e comparar com o valor dado f(0,0).

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), o numerador e o denominador são iguais, então podemos simplificar:
x^2yx^2y=1
Portanto, f(x,y)=1 em todo ponto diferente da origem.

Passo 3

O limite fica então
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=lim(x,y)to(0,0)1=1
Como o valor da função no ponto é f(0,0)=0 e o limite é 1, temos que o limite não coincide com o valor da função no ponto.

Resposta

Não é contínua em (0,0), pois lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=1neq f(0,0)=0.

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