Seja
uma funçăo analítica em um domínio
que não inclua a origem. Usando as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares (Seção 24) e supondo a continuidade das derivadas parciais, mostre que, em cada ponto de
, a função
satisfaz a equação diferencial parcial
que é a forma polar da equação de Laplace. Mostre que o mesmo vale para a função
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo extraído do problema):
-
é analítica em um domínio que não contém a origem. - As derivadas parciais de
e são contínuas (isso garante igualdade das derivadas mistas e permite trocar ordens de diferenciação). - Devemos usar as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares (Seção 24) e mostrar que, em cada ponto de
,
que é a forma polar da equação de Laplace para
.
Além disso, mostrar que a mesma equação vale para .
Além disso, mostrar que a mesma equação vale para
Passo 2
Vamos obter as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares (a partir das relações entre derivadas cartesianas e polares). Lembre que
e
. Pelo teorema da cadeia:
As equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas são
Substituindo essas em
e
obtemos
Agora escrevamos
e
pela cadeia:
Observe que
Comparando com a expressão de
acima vemos a relação
E comparando a expressão de
com
obtemos
Essas duas fórmulas são as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares (equivalentes entre si às versões cartesianas):
(Nas fórmulas, subscrito indica derivada parcial: por exemplo
,
.)
Passo 3
Vamos calcular as derivadas segundas necessárias para formar
. Primeiro
: partir de
Diferenciando em relação a
(usando regra do quociente/produto e supondo continuidade das parciais para trocar ordens):
Aqui usamos que
(continuidade das derivadas mistas).
Passo 4
Agora calcule
. Partimos de
Diferenciando em relação a
(aqui
é tratado como constante):
Passo 5
Monte a combinação pedida. Primeiro calcule
:
Em seguida
. Somando tudo:
Simplificando, os termos cancelam:
Isso mostra exatamente a forma polar da equação de Laplace para
.
Passo 6
Agora fazemos o mesmo raciocínio para
. Das equações de Cauchy–Riemann polares já temos, reescrevendo:
Diferenciando
em
:
Diferenciando
em
:
Agora compute
:
e
Somando:
Usando
(continuidade das mistas) os termos se cancelam e obtemos
Passo 7
Conclusão: tanto
quanto
satisfazem a equação de Laplace em coordenadas polares em cada ponto de
, ou seja, são funções harmônicas.