Seja f(z)=u(r, \theta)+i v(r, \theta) uma funçăo analítica em um domínio D que não inclua a origem. Usando as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares (Seção 24) e supondo a continuidade das derivadas parciais, mostre que, em cada ponto de \boldsymbol{D}, a função u(r, \theta) satisfaz a equação diferencial parcial
r^{2} u_{r r}(r, \theta)+r u_{r}(r, \theta)+u_{e \theta}(r, \theta)=0 .
que é a forma polar da equação de Laplace. Mostre que o mesmo vale para a função v(r, \theta).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo extraído do problema):
  • f(z)=u(r,\theta)+i\,v(r,\theta) é analítica em um domínio D que não contém a origem.
  • As derivadas parciais de u e v são contínuas (isso garante igualdade das derivadas mistas e permite trocar ordens de diferenciação).
  • Devemos usar as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares (Seção 24) e mostrar que, em cada ponto de D,
r^{2}u_{rr}(r,\theta)+r u_{r}(r,\theta)+u_{\theta\theta}(r,\theta)=0,
que é a forma polar da equação de Laplace para u.
Além disso, mostrar que a mesma equação vale para v.

Passo 2

Vamos obter as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares (a partir das relações entre derivadas cartesianas e polares). Lembre que x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Pelo teorema da cadeia:
u_{r}=u_{x}\cos\theta+u_{y}\sin\theta, \qquad u_{\theta}=-r u_{x}\sin\theta + r u_{y}\cos\theta.
As equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas são
u_{x}=v_{y},\qquad u_{y}=-v_{x}.
Substituindo essas em u_{r} e u_{\theta} obtemos
u_{r}=v_{y}\cos\theta - v_{x}\sin\theta,
u_{\theta}=-r\bigl(v_{y}\sin\theta + v_{x}\cos\theta\bigr).
Agora escrevamos v_{r} e v_{\theta} pela cadeia:
v_{r}=v_{x}\cos\theta+v_{y}\sin\theta, \qquad v_{\theta}=-r v_{x}\sin\theta + r v_{y}\cos\theta.
Observe que
v_{\theta}=r\bigl(v_{y}\cos\theta - v_{x}\sin\theta\bigr).
Comparando com a expressão de u_{r} acima vemos a relação
v_{\theta}=r\,u_{r}.
E comparando a expressão de u_{\theta} com v_{r} obtemos
u_{\theta}=-r\,v_{r}.
Essas duas fórmulas são as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares (equivalentes entre si às versões cartesianas):
u_{r}=\frac{1}{r}v_{\theta},\qquad u_{\theta}=-r v_{r}.
(Nas fórmulas, subscrito indica derivada parcial: por exemplo u_{r}=\partial u/\partial r, v_{\theta}=\partial v/\partial\theta.)

Passo 3

Vamos calcular as derivadas segundas necessárias para formar r^{2}u_{rr}+r u_{r}+u_{\theta\theta}. Primeiro u_{rr}: partir de
u_{r}=\frac{1}{r}v_{\theta}.
Diferenciando em relação a r (usando regra do quociente/produto e supondo continuidade das parciais para trocar ordens):
u_{rr}=\frac{d}{dr}\!\left(\frac{1}{r}v_{\theta}\right) = -\frac{1}{r^{2}}v_{\theta} + \frac{1}{r}v_{\theta r}.
Aqui usamos que v_{\theta r}=v_{r\theta} (continuidade das derivadas mistas).

Passo 4

Agora calcule u_{\theta\theta}. Partimos de
u_{\theta}=-r v_{r}.
Diferenciando em relação a \theta (aqui r é tratado como constante):
u_{\theta\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta}(-r v_{r}) = -r v_{r\theta}.

Passo 5

Monte a combinação pedida. Primeiro calcule r^{2}u_{rr}:
r^{2}u_{rr}=r^{2}\Bigl(-\frac{1}{r^{2}}v_{\theta}+\frac{1}{r}v_{r\theta}\Bigr) = -v_{\theta} + r v_{r\theta}.
Em seguida r u_{r}=r\cdot\frac{1}{r}v_{\theta}=v_{\theta}. Somando tudo:
r^{2}u_{rr}+r u_{r}+u_{\theta\theta} = \bigl(-v_{\theta}+ r v_{r\theta}\bigr) + v_{\theta} + \bigl(-r v_{r\theta}\bigr).
Simplificando, os termos cancelam:
r^{2}u_{rr}+r u_{r}+u_{\theta\theta}=0.
Isso mostra exatamente a forma polar da equação de Laplace para u.

Passo 6

Agora fazemos o mesmo raciocínio para v. Das equações de Cauchy–Riemann polares já temos, reescrevendo:
v_{r}=-\frac{1}{r}u_{\theta},\qquad v_{\theta}=r u_{r}.
Diferenciando v_{r} em r:
v_{rr}=\frac{d}{dr}\!\left(-\frac{1}{r}u_{\theta}\right) = \frac{1}{r^{2}}u_{\theta} -\frac{1}{r}u_{\theta r}.
Diferenciando v_{\theta}=r u_{r} em \theta:
v_{\theta\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta}(r u_{r}) = r u_{r\theta}.
Agora compute r^{2}v_{rr}+r v_{r}+v_{\theta\theta}:
r^{2}v_{rr}=r^{2}\Bigl(\frac{1}{r^{2}}u_{\theta}-\frac{1}{r}u_{\theta r}\Bigr) = u_{\theta} - r u_{\theta r},
r v_{r}= r\Bigl(-\frac{1}{r}u_{\theta}\Bigr) = -u_{\theta},
e
v_{\theta\theta}= r u_{r\theta}.
Somando:
r^{2}v_{rr}+r v_{r}+v_{\theta\theta} = (u_{\theta}-r u_{\theta r}) + (-u_{\theta}) + (r u_{r\theta}).
Usando u_{r\theta}=u_{\theta r} (continuidade das mistas) os termos se cancelam e obtemos
r^{2}v_{rr}+r v_{r}+v_{\theta\theta}=0.

Passo 7

Conclusão: tanto u quanto v satisfazem a equação de Laplace em coordenadas polares em cada ponto de D, ou seja, são funções harmônicas.

Resposta

r^{2}u_{rr}(r,\theta)+r u_{r}(r,\theta)+u_{\theta\theta}(r,\theta)=0.
r^{2}v_{rr}(r,\theta)+r v_{r}(r,\theta)+v_{\theta\theta}(r,\theta)=0.

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