(a) Lembre (Seção 6) que se
, então
Aplicando formalmente a regra da cadeia do Cálculo a uma função
de duas variáveis reais, deduza a expressão
(b) Defina o operador
sugerido na parte (
), para mostrar que se as derivadas parciais de primeira ordem dos componentes real e imaginário de uma função
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, então
Deduza disso a forma complexa
das equações de Cauchy-Riemann.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede (a) deduzir, usando a regra da cadeia, a expressão
para uma função real
vista como função dos “novos” argumentos
e
.
- Pede (b) definir o operador
e, aplicando-o a
, mostrar que
e, a partir disso, deduzir que quando
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann então
Informações que nos são dadas (para usar):
- A relação entre coordenadas é
- A ideia é aplicar a regra da cadeia formalmente, tratando
e como variáveis independentes (procedimento padrão ao introduzir as derivadas de Wirtinger).
Passo 2
Vamos escrever explicitamente
e
em função de
e
e preparar a diferenciação.
As fórmulas dadas são
e
Aqui, ao tomarmos derivadas em relação a
vamos considerar
como constante (isso é o que se faz formalmente quando tratamos
e
como variáveis independentes). Vou calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Calcular
e
.
Derivando cada expressão em relação a
(com
constante):
Para
:
Para
:
Podemos simplificar
usando
, o que dá
Portanto
Resumo:
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia à função
.
A regra da cadeia para derivada parcial em relação a
(tratando
como função de
e
, que por sua vez dependem de
) é
Substituindo as derivadas que encontramos no Passo 3:
Isso é exatamente a expressão pedida na parte (a). É uma aplicação direta e formal da regra da cadeia, usando que
e
.
Passo 5
Definir o operador
e interpretar.
A definição sugerida é
Isto significa que, aplicado a qualquer função suficientemente regular
,
o que coincide com o que acabamos de deduzir para
. Este operador é chamado de derivada em
(ou derivada de Wirtinger em
) e é muito útil porque separa as dependências em
e
de forma linear.
Passo 6
Aplicar o operador à função
e calcular explicitamente.
Primeiro escrevo as derivadas parciais:
Agora uso a definição do operador:
Desenvolvo o termo na parêntese, lembrando que
:
Reagrupando as partes real e imaginária:
Portanto, finalmente,
que é a expressão pedida na parte (b).
Passo 7
Conectar com as equações de Cauchy–Riemann e concluir que
.
As equações de Cauchy–Riemann para
são (na forma habitual)
Se essas duas igualdades são verdadeiras, então
Substituindo na expressão obtida no Passo 6, obtemos
Assim, as equações de Cauchy–Riemann são equivalentes à condição complexa
Observação rápida (útil na prova): a implicação inversa também vale sob hipóteses de regularidade (se
tem derivadas parciais contínuas e
então as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas), porque a identidade em componentes mostra que
fornece exatamente as duas equações reais mencionadas.