(a) Lembre (Seção 6) que se z=x+i y, então
x=\frac{z+\bar{z}}{2} \quad \text { e } \quad y=\frac{z-\bar{z}}{2 i} .
Aplicando formalmente a regra da cadeia do Cálculo a uma função F(x, y) de duas variáveis reais, deduza a expressão
\frac{\partial F}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \bar{z}}+\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial F}{\partial x}+i \frac{\partial F}{\partial y}\right) .
(b) Defina o operador
\frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y}\right) .
sugerido na parte ( a ), para mostrar que se as derivadas parciais de primeira ordem dos componentes real e imaginário de uma função f(z)=u(x, y)+i v(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, então
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left[\left(u_{x}-v_{y}\right)+i\left(v_{x}+u_{y}\right)\right]=0 .
Deduza disso a forma complexa \partial f / \partial \bar{z}=0 das equações de Cauchy-Riemann.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede (a) deduzir, usando a regra da cadeia, a expressão
\frac{\partial F}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial F}{\partial x}+i\frac{\partial F}{\partial y}\right)
para uma função real F(x,y) vista como função dos “novos” argumentos z e \bar{z}.
  • Pede (b) definir o operador
\frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)
e, aplicando-o a f(z)=u(x,y)+i v(x,y), mostrar que
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\bigl((u_x-v_y)+i(v_x+u_y)\bigr)
e, a partir disso, deduzir que quando u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann então
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0.
Informações que nos são dadas (para usar):
  • A relação entre coordenadas é
x=\frac{z+\bar{z}}{2},\qquad y=\frac{z-\bar{z}}{2i}.
  • A ideia é aplicar a regra da cadeia formalmente, tratando z e \bar{z} como variáveis independentes (procedimento padrão ao introduzir as derivadas de Wirtinger).

Passo 2

Vamos escrever explicitamente x e y em função de z e \bar{z} e preparar a diferenciação.
As fórmulas dadas são
x=\frac{z+\bar{z}}{2}
e
y=\frac{z-\bar{z}}{2i}.
Aqui, ao tomarmos derivadas em relação a \bar{z} vamos considerar z como constante (isso é o que se faz formalmente quando tratamos z e \bar{z} como variáveis independentes). Vou calcular as derivadas parciais \partial x/\partial\bar{z} e \partial y/\partial\bar{z}.

Passo 3

Calcular \partial x/\partial\bar{z} e \partial y/\partial\bar{z}.
Derivando cada expressão em relação a \bar{z} (com z constante):
Para x:
\frac{\partial x}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\!\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial \bar{z}}(\bar{z})=\frac{1}{2}.
Para y:
\frac{\partial y}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\!\left(\frac{z-\bar{z}}{2i}\right)=-\frac{1}{2i}\frac{\partial}{\partial \bar{z}}(\bar{z})=-\frac{1}{2i}.
Podemos simplificar -\dfrac{1}{2i} usando 1/i=-i, o que dá
-\frac{1}{2i}= -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{i}=-\frac{1}{2}(-i)=\frac{i}{2}.
Portanto
\frac{\partial y}{\partial \bar{z}}=\frac{i}{2}.
Resumo:
\frac{\partial x}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2},\qquad \frac{\partial y}{\partial \bar{z}}=\frac{i}{2}.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia à função F(x,y).
A regra da cadeia para derivada parcial em relação a \bar{z} (tratando F como função de x e y, que por sua vez dependem de \bar{z}) é
\frac{\partial F}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \bar{z}}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \bar{z}}.
Substituindo as derivadas que encontramos no Passo 3:
\frac{\partial F}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial F}{\partial x}\cdot\frac{1}{2}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot\frac{i}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial F}{\partial x}+i\frac{\partial F}{\partial y}\right).
Isso é exatamente a expressão pedida na parte (a). É uma aplicação direta e formal da regra da cadeia, usando que \partial x/\partial\bar{z}=1/2 e \partial y/\partial\bar{z}=i/2.

Passo 5

Definir o operador \partial/\partial\bar{z} e interpretar.
A definição sugerida é
\frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right).
Isto significa que, aplicado a qualquer função suficientemente regular G(x,y),
\frac{\partial G}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(G_x+i G_y\right),
o que coincide com o que acabamos de deduzir para F. Este operador é chamado de derivada em \bar{z} (ou derivada de Wirtinger em \bar{z}) e é muito útil porque separa as dependências em z e \bar{z} de forma linear.

Passo 6

Aplicar o operador à função f(z)=u(x,y)+i v(x,y) e calcular explicitamente.
Primeiro escrevo as derivadas parciais:
f_x=u_x+i v_x,\qquad f_y=u_y+i v_y.
Agora uso a definição do operador:
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(f_x+i f_y\right)=\frac{1}{2}\left((u_x+i v_x)+i(u_y+i v_y)\right).
Desenvolvo o termo na parêntese, lembrando que i^2=-1:
(u_x+i v_x)+i(u_y+i v_y)=u_x+i v_x+i u_y+i^2 v_y=u_x+i v_x+i u_y- v_y.
Reagrupando as partes real e imaginária:
u_x+i v_x+i u_y- v_y=(u_x-v_y)+i(v_x+u_y).
Portanto, finalmente,
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\bigl((u_x-v_y)+i(v_x+u_y)\bigr),
que é a expressão pedida na parte (b).

Passo 7

Conectar com as equações de Cauchy–Riemann e concluir que \partial f/\partial \bar{z}=0.
As equações de Cauchy–Riemann para f=u+iv são (na forma habitual)
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.
Se essas duas igualdades são verdadeiras, então
u_x-v_y=0\quad\text{e}\quad v_x+u_y=0.
Substituindo na expressão obtida no Passo 6, obtemos
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\bigl(0+i\cdot 0\bigr)=0.
Assim, as equações de Cauchy–Riemann são equivalentes à condição complexa
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0.
Observação rápida (útil na prova): a implicação inversa também vale sob hipóteses de regularidade (se f tem derivadas parciais contínuas e \partial f/\partial \bar{z}=0 então as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas), porque a identidade em componentes mostra que \partial f/\partial \bar{z}=0 fornece exatamente as duas equações reais mencionadas.

Resposta

\frac{\partial F}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial F}{\partial x}+i\frac{\partial F}{\partial y}\right)
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\bigl((u_x-v_y)+i(v_x+u_y)\bigr)=0.

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