a. O comprimento de onda da luz verde é
. Se um elétron tem o mesmo comprimento de onda, determine a velocidade e o momento do elétron.
b. Repita o item (a) para a luz vermelha com comprimento de onda
.
c. Para os itens (a) e (b), o momento do fóton é igual ao momento do elétron?
b. Repita o item (a) para a luz vermelha com comprimento de onda
c. Para os itens (a) e (b), o momento do fóton é igual ao momento do elétron?
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, claramente.
- Dados fornecidos:
- (a) Comprimento de onda da “luz verde”:
. - (b) Comprimento de onda da “luz vermelha”:
.
- (a) Comprimento de onda da “luz verde”:
- O que a questão pede:
- (a) Para
: determinar a velocidade e o momento de um elétron que tenha o mesmo comprimento de onda. - (b) Para
: repetir (velocidade e momento do elétron). - (c) Dizer se, nos itens (a) e (b), o momento do fóton é igual ao momento do elétron.
- (a) Para
Passo 2
Princípio e fórmula que vamos usar (explicação didática e simples).
- De Broglie propôs que partículas como elétrons têm comprimento de onda associado, dado por
onde:
-
é o comprimento de onda associado à partícula (em metros), -
é a constante de Planck (unidades de ), -
é o momento linear da partícula (unidades de ). -
Desse rearranjamento obtemos o momento a partir do comprimento de onda:
Isto nos dá o módulo do momento (valor absoluto). Para encontrar a velocidade do elétron, em primeiro lugar podemos usar a relação clássica
(momentum newtoniano), que é válida quando a velocidade
é muito menor que a velocidade da luz
. Então
Vamos checar depois se essa aproximação é válida (comparando
com
). Se
não for desprezível comparado a
, usaríamos a fórmula relativística
com
e resolveríamos para
. Mas provavelmente a aproximação clássica será suficiente aqui.
Passo 3
Constantes numéricas que vou usar (valores padrão SI; explico unidades):
- Constante de Planck:
- Massa de repouso do elétron:
- Velocidade da luz (para checar se não há efeitos relativísticos):
Também converterei os comprimentos de onda para metros:
.
Passo 4
Cálculo do momento e da velocidade para
(luz verde).
- Converter
para metros:
- Calcular o momento usando
:
(Explanação: dividi
por
e ajustei a potência de 10.)
- Calcular a velocidade usando a aproximação clássica
:
- Verificação da validade da aproximação clássica: calcular
Como
é muito menor que
, a fórmula clássica
é perfeitamente válida aqui; a correção relativística é desprezível.
Passo 5
Cálculo do momento e da velocidade para
(luz “vermelha” segundo o enunciado).
- Converter
para metros:
- Calcular o momento:
- Calcular a velocidade (aplicando
):
- Verificação relativística:
logo a aproximação não-relativística também é válida aqui.
Passo 6
Discussão do item (c): o momento do fóton é igual ao momento do elétron?
- Fórmula para o fóton: o momento do fóton (módulo) é dado por
exatamente a mesma expressão numérica que usamos para o elétron ao igualar o comprimento de onda de De Broglie àquele
. Portanto, numericamente (em módulo) o momento do fóton e o momento do elétron são iguais se ambos têm o mesmo comprimento de onda: ambos têm
.
- Observação física importante (para não confundir): apesar de terem o mesmo módulo do momento, o significado físico difere:
- Para o fóton a energia é
. - Para o elétron (não-relativístico) a energia cinética é
(e o elétron também tem energia de repouso ). - Então momentos iguais não implicam energias iguais nem comportamento igual — apenas o mesmo valor numérico de
(módulo).
- Para o fóton a energia é
Resposta
(a)
(b)
(c) Sim — os módulos dos momentos coincidem porque para o fóton e para o elétron (de Broglie); porém suas energias e interpretações físicas são diferentes.
(b)
(c) Sim — os módulos dos momentos coincidem porque