a. O comprimento de onda da luz verde é \lambda=550 \mathrm{~nm}. Se um elétron tem o mesmo comprimento de onda, determine a velocidade e o momento do elétron.
b. Repita o item (a) para a luz vermelha com comprimento de onda \lambda=440 \mathrm{~nm}.
c. Para os itens (a) e (b), o momento do fóton é igual ao momento do elétron?

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, claramente.
  • Dados fornecidos:
    • (a) Comprimento de onda da “luz verde”: \lambda=550\\ \mathrm{nm}.
    • (b) Comprimento de onda da “luz vermelha”: \lambda=440\\ \mathrm{nm}.
  • O que a questão pede:
    • (a) Para \lambda=550\\ \mathrm{nm}: determinar a velocidade v e o momento p de um elétron que tenha o mesmo comprimento de onda.
    • (b) Para \lambda=440\\ \mathrm{nm}: repetir (velocidade e momento do elétron).
    • (c) Dizer se, nos itens (a) e (b), o momento do fóton é igual ao momento do elétron.

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar (explicação didática e simples).
  • De Broglie propôs que partículas como elétrons têm comprimento de onda associado, dado por
\lambda=\frac{h}{p},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda associado à partícula (em metros),
  • h é a constante de Planck (unidades de \mathrm{J\cdot s}),
  • p é o momento linear da partícula (unidades de \mathrm{kg\cdot m/s}).
  • Desse rearranjamento obtemos o momento a partir do comprimento de onda:
p=\frac{h}{\lambda}.
Isto nos dá o módulo do momento (valor absoluto). Para encontrar a velocidade do elétron, em primeiro lugar podemos usar a relação clássica p=m_ev (momentum newtoniano), que é válida quando a velocidade v é muito menor que a velocidade da luz c. Então
v\approx\frac{p}{m_e}.
Vamos checar depois se essa aproximação é válida (comparando v com c). Se v não for desprezível comparado a c, usaríamos a fórmula relativística p=\gamma m_ev com \gamma=1/\sqrt{1-(v/c)^2} e resolveríamos para v. Mas provavelmente a aproximação clássica será suficiente aqui.

Passo 3

Constantes numéricas que vou usar (valores padrão SI; explico unidades):
  • Constante de Planck:
h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Massa de repouso do elétron:
m_e=9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade da luz (para checar se não há efeitos relativísticos):
c=2,99792458\times10^8\\ \mathrm{m/s}.
Também converterei os comprimentos de onda para metros: 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo do momento e da velocidade para \lambda=550\\ \mathrm{nm} (luz verde).
  1. Converter \lambda para metros:
\lambda=550\\ \mathrm{nm}=550\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=5,50\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  1. Calcular o momento usando p=h/\lambda:
p=\frac{6,62607015\times10^{-34}}{5,50\times10^{-7}} =\frac{6,62607015}{5,50}\times10^{-34+7} =1,205\!\times\!10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
(Explanação: dividi 6,62607015 por 5{,}50 e ajustei a potência de 10.)
  1. Calcular a velocidade usando a aproximação clássica v=p/m_e:
v\approx\frac{1,205\times10^{-27}}{9,10938356\times10^{-31}} =1,323\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Verificação da validade da aproximação clássica: calcular v/c
\frac{v}{c}\approx\frac{1,323\times10^{3}}{2,99792458\times10^{8}} \approx4,41\times10^{-6}\ll1.
Como v é muito menor que c, a fórmula clássica p=m_ev é perfeitamente válida aqui; a correção relativística é desprezível.

Passo 5

Cálculo do momento e da velocidade para \lambda=440\\ \mathrm{nm} (luz “vermelha” segundo o enunciado).
  1. Converter \lambda para metros:
\lambda=440\\ \mathrm{nm}=440\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=4,40\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  1. Calcular o momento:
p=\frac{6,62607015\times10^{-34}}{4,40\times10^{-7}} =\frac{6,62607015}{4,40}\times10^{-27} =1,506\!\times\!10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  1. Calcular a velocidade (aplicando v=p/m_e):
v\approx\frac{1,506\times10^{-27}}{9,10938356\times10^{-31}} =1,653\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Verificação relativística:
\frac{v}{c}\approx\frac{1,653\times10^{3}}{2,99792458\times10^{8}} \approx5,51\times10^{-6}\ll1,
logo a aproximação não-relativística também é válida aqui.

Passo 6

Discussão do item (c): o momento do fóton é igual ao momento do elétron?
  • Fórmula para o fóton: o momento do fóton (módulo) é dado por
p_{\text{fóton}}=\frac{h}{\lambda},ó
exatamente a mesma expressão numérica que usamos para o elétron ao igualar o comprimento de onda de De Broglie àquele \lambda. Portanto, numericamente (em módulo) o momento do fóton e o momento do elétron são iguais se ambos têm o mesmo comprimento de onda: ambos têm p=h/\lambda.
  • Observação física importante (para não confundir): apesar de terem o mesmo módulo do momento, o significado físico difere:
    • Para o fóton a energia é E_{\text{fóton}}=pcó.
    • Para o elétron (não-relativístico) a energia cinética é K=p^2/(2m_e) (e o elétron também tem energia de repouso m_ec^2).
    • Então momentos iguais não implicam energias iguais nem comportamento igual — apenas o mesmo valor numérico de p (módulo).

Resposta

(a) v=1,323\times10^{3}\\ \mathrm{m/s},\quad p=1,205\times10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
(b) v=1,653\times10^{3}\\ \mathrm{m/s},\quad p=1,506\times10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
(c) Sim — os módulos dos momentos coincidem porque p=h/\lambda para o fóton e para o elétron (de Broglie); porém suas energias e interpretações físicas são diferentes.

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