De acordo com a interpretação de Born, a probabilidade de se encontrar um elétron em um elemento de volume d
é proporcional a
. (a) Qual é a localização mais provável de um elétron em um átomo de H no seu estado fundamental? (b) Qual sua distância mais provável ao núcleo e por que esta é diferente? (c) Qual a distância mais provável de um elétron
em relação ao núcleo?
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
-
O enunciado lembra a interpretação de Born: a probabilidade de encontrar o elétron em um elemento de volume
é proporcional a . -
Perguntas:
(a) Qual é a localização mais provável de um elétron em um átomo de H no seu estado fundamental?
(b) Qual é a distância mais provável ao núcleo e por que esta é diferente da localização do item (a)?
(c) Qual a distância mais provável de um elétronem relação ao núcleo? -
Informações que vamos usar (funções de onda do átomo de hidrogênio, forma padrão):
- Função de onda do estado fundamental
: onde é o raio de Bohr ( ou ). - Função de onda do estado
(forma radial conhecida, constante multiplicativa irrelevante para máximos radiais):
- Função de onda do estado fundamental
-
Observação importante que vou usar: a diferença entre a “localização mais provável” (ponto onde
é máximo) e a “distância mais provável” (raio que maximiza a probabilidade de encontrar o elétron numa casca esférica entre e ). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Explicação didática do conceito de densidade de probabilidade e do que é a probabilidade radial — isso é essencial para entender por que há duas maneiras de falar em “mais provável”.
- Interpretação de Born: a densidade de probabilidade no ponto
é Isso significa que a probabilidade de encontrar o elétron dentro de um elemento de volume é - Para átomos, é útil usar coordenadas esféricas. O elemento de volume é
. - Probabilidade de encontrar o elétron em uma casca esférica entre
e (integrando sobre ângulos) é Dessa expressão surge a chamada densidade de probabilidade radial (ou função de distribuição radial) que satisfaz . - Conclusão conceitual: o ponto onde
é máximo dá a posição espacial mais provável (isto é, o ponto no espaço); já o valor de que maximiza dá a distância mais provável ao núcleo (a casca radial mais provável). Essas duas definições geralmente são diferentes por causa do fator geométrico .
Passo 3
Resolver (a): localização espacial mais provável para o elétron no estado fundamental
.
- Escrever a densidade de probabilidade pontual para
: - Para encontrar o ponto onde
é máximo, note que a expressão depende apenas de e é uma função decrescente de porque o fator diminui quando aumenta. - Portanto o máximo de
ocorre no menor possível, ou seja em . - Interpretação física: o valor mais alto de densidade pontual está exatamente no núcleo; portanto a localização espacial mais provável (o ponto com maior densidade) é o núcleo (
).
Passo 4
Resolver (b): encontrar a distância mais provável ao núcleo para
, isto é maximizar
, e explicar por que difere do item (a).
- Escrever
: - Para achar o máximo, derivamos
em relação a e igualamos a zero: - Zeros da derivada:
e . Analisando sinais (ou avaliando nos pontos), é mínimo local para (porque já que o volume esférico é nulo), e é o máximo local e global positivo. - Logo a distância mais provável ao núcleo para o elétron
é - Explicação do motivo da diferença entre (a) e (b): em
a densidade pontual é máxima, mas o volume de uma casca esférica de raio é proporcional a . Quando multiplicamos por (no ), obtemos uma competição: para pequeno é grande mas o fator reduz a probabilidade total da casca; para maior decai exponencialmente, mas cresce. O ponto em que essa competição atinge máximo é . Por isso o ponto de densidade máxima não coincide com a casca radial mais provável.
Passo 5
Preparação para (c): escrever a função radial (proporcional) do estado
e a densidade radial
. Lembrete: para achar máximos radiais a constante de normalização não importa, pois afeta apenas um fator multiplicativo.
- Usar a variável adimensional
. - A parte radial do
é proporcional a . Assim, e - A densidade radial (proporcional) é
Em termos de (substituindo ):
Passo 6
Determinar os pontos estacionários de
resolvendo
.
- É mais simples derivar o log de
. Defina Então Derivando: - Igualando a zero:
Multiplicando por obtemos: Desenvolvendo: - Resolver a equação quadrática:
Portanto os pontos estacionários são
Passo 7
Identificar qual desses pontos é máximo global (mais provável) e apresentar o valor em unidades de
e em Å.
- Avaliando qualitativamente a forma da função: o estado
tem um nó radial em (porque quando ), logo há uma região interna ( ) e uma região externa ( ). Encontramos duas soluções, uma em cada região: (máximo interno) e (máximo externo). - Para saber qual é o máximo global comparamos os valores de
nos dois pontos (ou raciocinamos que a bolha externa costuma ser dominante). Calculando rapidamente (ou observando o comportamento exponencial) verifica-se que o máximo externo em é maior que o máximo interno em . - Portanto a distância mais provável para o elétron
é - Convertendo para angström usando
:
Resposta
(a) A localização espacial mais provável é no núcleo, ou seja
.
(b) A distância mais provável ao núcleo (maximizando
) é
. Isso difere do item (a) porque a probabilidade numa casca esférica envolve o fator geométrico
, que dá volume à casca e desloca o máximo para
.
(c) Para o elétron
a distância radial mais provável (máximo global de
) é