De acordo com a interpretação de Born, a probabilidade de se encontrar um elétron em um elemento de volume d \tau é proporcional a \psi^{2} \mathrm{~d} \tau. (a) Qual é a localização mais provável de um elétron em um átomo de H no seu estado fundamental? (b) Qual sua distância mais provável ao núcleo e por que esta é diferente? (c) Qual a distância mais provável de um elétron 2 s em relação ao núcleo?

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado lembra a interpretação de Born: a probabilidade de encontrar o elétron em um elemento de volume \mathrm{d}\tau é proporcional a \psi^{2}\,\mathrm{d}\tau.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a localização mais provável de um elétron em um átomo de H no seu estado fundamental?
    (b) Qual é a distância mais provável ao núcleo e por que esta é diferente da localização do item (a)?
    (c) Qual a distância mais provável de um elétron 2s em relação ao núcleo?
  • Informações que vamos usar (funções de onda do átomo de hidrogênio, forma padrão):
    • Função de onda do estado fundamental 1s: \psi_{1s}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^{3}}}\,e^{-r/a_0},onde a_0 é o raio de Bohr ( a_0\approx 0,529\\ \text{\AA} ou 5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}).
    • Função de onda do estado 2s (forma radial conhecida, constante multiplicativa irrelevante para máximos radiais): \psi_{2s}(r,\theta,\varphi)\propto (2-\rho)\,e^{-\rho/2}\quad\text{com}\quad \rho=\frac{r}{a_0}.
  • Observação importante que vou usar: a diferença entre a “localização mais provável” (ponto onde \psi^{2} é máximo) e a “distância mais provável” (raio r que maximiza a probabilidade de encontrar o elétron numa casca esférica entre r e r+\mathrm{d}r). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Explicação didática do conceito de densidade de probabilidade e do que é a probabilidade radial — isso é essencial para entender por que há duas maneiras de falar em “mais provável”.
  • Interpretação de Born: a densidade de probabilidade no ponto (r,\theta,\varphi) é \mathcal{P}(\mathbf{r})=\left|\psi(r,\theta,\varphi)\right|^{2}.Isso significa que a probabilidade de encontrar o elétron dentro de um elemento de volume \mathrm{d}\tau é \mathrm{d}P = \left|\psi\right|^{2}\,\mathrm{d}\tau.
  • Para átomos, é útil usar coordenadas esféricas. O elemento de volume é \mathrm{d}\tau = r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
  • Probabilidade de encontrar o elétron em uma casca esférica entre r e r+\mathrm{d}r (integrando sobre ângulos) é \mathrm{d}P_{\text{radial}} = 4\pi r^{2} \left|\psi(r)\right|^{2}\,\mathrm{d}r.Dessa expressão surge a chamada densidade de probabilidade radial (ou função de distribuição radial) P(r) = 4\pi r^{2} \left|\psi(r)\right|^{2},que satisfaz \int_{0}^{\infty} P(r)\,\mathrm{d}r = 1.
  • Conclusão conceitual: o ponto onde \left|\psi\right|^{2} é máximo dá a posição espacial mais provável (isto é, o ponto no espaço); já o valor de r que maximiza P(r) dá a distância mais provável ao núcleo (a casca radial mais provável). Essas duas definições geralmente são diferentes por causa do fator geométrico 4\pi r^{2}.

Passo 3

Resolver (a): localização espacial mais provável para o elétron no estado fundamental 1s.
  • Escrever a densidade de probabilidade pontual para 1s: \left|\psi_{1s}(r)\right|^{2}=\frac{1}{\pi a_0^{3}}\,e^{-2r/a_0}.
  • Para encontrar o ponto onde \left|\psi_{1s}\right|^{2} é máximo, note que a expressão depende apenas de r e é uma função decrescente de r porque o fator e^{-2r/a_0} diminui quando r aumenta.
  • Portanto o máximo de \left|\psi_{1s}\right|^{2} ocorre no menor r possível, ou seja em r=0.
  • Interpretação física: o valor mais alto de densidade pontual está exatamente no núcleo; portanto a localização espacial mais provável (o ponto com maior densidade) é o núcleo ( r=0).

Passo 4

Resolver (b): encontrar a distância mais provável ao núcleo para 1s, isto é maximizar P(r)=4\pi r^{2}|\psi_{1s}(r)|^{2}, e explicar por que difere do item (a).
  • Escrever P_{1s}(r): P_{1s}(r)=4\pi r^{2}\cdot\frac{1}{\pi a_0^{3}}\,e^{-2r/a_0}=\frac{4}{a_0^{3}}\,r^{2}\,e^{-2r/a_0}.
  • Para achar o máximo, derivamos P_{1s}(r) em relação a r e igualamos a zero: \frac{\mathrm{d}P_{1s}}{\mathrm{d}r}=\frac{4}{a_0^{3}}\,e^{-2r/a_0}\bigl(2r - \tfrac{2}{a_0}r^{2}\bigr) =\frac{8}{a_0^{3}}\,e^{-2r/a_0}\,r\!\left(1-\frac{r}{a_0}\right).
  • Zeros da derivada: r=0 e r=a_0. Analisando sinais (ou avaliando P_{1s} nos pontos), r=0 é mínimo local para P (porque P_{1s}(0)=0 já que o volume esférico é nulo), e r=a_0 é o máximo local e global positivo.
  • Logo a distância mais provável ao núcleo para o elétron 1s é r=a_0\approx 0,529\\ \text{\AA}.
  • Explicação do motivo da diferença entre (a) e (b): em r=0 a densidade pontual \left|\psi\right|^{2} é máxima, mas o volume de uma casca esférica de raio r é proporcional a r^{2}. Quando multiplicamos \left|\psi\right|^{2} por r^{2} (no P(r)), obtemos uma competição: para r pequeno \left|\psi\right|^{2} é grande mas o fator r^{2} reduz a probabilidade total da casca; para r maior \left|\psi\right|^{2} decai exponencialmente, mas r^{2} cresce. O ponto em que essa competição atinge máximo é r=a_0. Por isso o ponto de densidade máxima não coincide com a casca radial mais provável.

Passo 5

Preparação para (c): escrever a função radial (proporcional) do estado 2s e a densidade radial P_{2s}(r). Lembrete: para achar máximos radiais a constante de normalização não importa, pois afeta apenas um fator multiplicativo.
  • Usar a variável adimensional \rho=\dfrac{r}{a_0}.
  • A parte radial do 2s é proporcional a (2-\rho)e^{-\rho/2}. Assim, R_{2s}(r)\propto(2-\rho)e^{-\rho/2} e \left|\psi_{2s}(r)\right|^{2}\propto (2-\rho)^{2}e^{-\rho}.
  • A densidade radial (proporcional) é P_{2s}(r)=4\pi r^{2}\left|\psi_{2s}(r)\right|^{2}\propto r^{2}(2-\rho)^{2}e^{-\rho}.Em termos de \rho (substituindo r=\rho a_0): P_{2s}(\rho)\propto \rho^{2}(2-\rho)^{2}e^{-\rho}.

Passo 6

Determinar os pontos estacionários de P_{2s}(\rho) resolvendo \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}P_{2s}(\rho)=0.
  • É mais simples derivar o log de P_{2s}. Defina f(\rho)=\rho^{2}(2-\rho)^{2}e^{-\rho}.Então \ln f(\rho)=2\ln\rho + 2\ln(2-\rho) - \rho.Derivando: \frac{f'(\rho)}{f(\rho)}=\frac{2}{\rho} - \frac{2}{2-\rho} - 1.
  • Igualando a zero: \frac{2}{\rho} - \frac{2}{2-\rho} - 1 = 0.Multiplicando por \rho(2-\rho) obtemos: 2(2-\rho) - 2\rho - \rho(2-\rho) = 0.Desenvolvendo: 4 - 4\rho - (2\rho - \rho^{2}) = 0 \quad\Rightarrow\quad \rho^{2} -6\rho +4 = 0.
  • Resolver a equação quadrática: \rho = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}.Portanto os pontos estacionários são \rho_{1}=3-\sqrt{5}\approx 0,764\quad\text{e}\quad \rho_{2}=3+\sqrt{5}\approx 5,236.

Passo 7

Identificar qual desses pontos é máximo global (mais provável) e apresentar o valor em unidades de a_0 e em Å.
  • Avaliando qualitativamente a forma da função: o estado 2s tem um nó radial em \rho=2 (porque 2-\rho=0 quando \rho=2), logo há uma região interna ( 0<\rho<2) e uma região externa ( \rho>2). Encontramos duas soluções, uma em cada região: \rho_{1}\approx0,764 (máximo interno) e \rho_{2}\approx5,236 (máximo externo).
  • Para saber qual é o máximo global comparamos os valores de f(\rho) nos dois pontos (ou raciocinamos que a bolha externa costuma ser dominante). Calculando rapidamente (ou observando o comportamento exponencial) verifica-se que o máximo externo em \rho_{2}\approx5,236 é maior que o máximo interno em \rho_{1}.
  • Portanto a distância mais provável para o elétron 2s é r = \rho_{2}\,a_0 = (3+\sqrt{5})\,a_0 \approx 5,236\,a_0.
  • Convertendo para angström usando a_0\approx 0,529\\ \text{\AA}: r \approx 5,236\times 0,529\\ \text{\AA} \approx 2,77\\ \text{\AA}.

Resposta

(a) A localização espacial mais provável é no núcleo, ou seja r=0.
(b) A distância mais provável ao núcleo (maximizando P(r)=4\pi r^{2}|\psi_{1s}|^{2}) é r=a_0\approx 0,529\\ \text{\AA}. Isso difere do item (a) porque a probabilidade numa casca esférica envolve o fator geométrico 4\pi r^{2}, que dá volume à casca e desloca o máximo para r=a_0.
(c) Para o elétron 2s a distância radial mais provável (máximo global de P_{2s}) é
r=(3+\sqrt{5})\,a_0\approx 5,236\,a_0\approx 2,77\\ \text{\AA}.

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