As energias de ionização do rubídio e da prata são, respectivamente, 4,18 e 7,57 \mathrm{eV}. Calcule as energias de ionização de um átomo de H com seu elétron nos mesmos orbitais mais externos desses dois átomos e discuta sobre as diferenças de valores nesses diferentes elementos.

Passo 1

O enunciado fornece as energias de ionização (EI) dos átomos:
  • Rubídio: \mathrm{EI_{Rb}} = 4,18\\ \mathrm{eV}.
  • Prata: \mathrm{EI_{Ag}} = 7,57\\ \mathrm{eV}.
O que é pedido:
  • Calcular as energias de ionização de um átomo de hidrogénio cujo elétron ocupe os mesmos orbitais mais externos desses dois átomos.
  • Discutir por que os valores obtidos para o átomo de hidrogénio são diferentes (e por que diferem entre Rb e Ag).
Informações úteis (retiradas do conhecimento da configuração eletrónica desses elementos, consideradas dadas para resolver):
  • O elétron mais externo do rubídio está no orbital 5s (ou seja, n=5, orbital s).
  • O elétron mais externo da prata também está no orbital 5s (ou seja, n=5, orbital s).
    Não se resolve ainda; isto é só o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa.
Para um átomo hidrogenoide (um núcleo com carga +Z e um único elétron) os níveis de energia são dados por:
E_n = -\frac{13,6\\ \mathrm{eV}\cdot Z^{2}}{n^{2}}.
Explicação dos símbolos:
  • E_n é a energia do elétron no nível principal n (valor negativo indica estado ligado).
  • 13,6\\ \mathrm{eV} é a energia de ionização do hidrogénio no estado fundamental ( n=1).
  • Z é a carga nuclear efetiva sentida pelo elétron (para o átomo de hidrogénio real Z=1).
  • n é o número quântico principal do orbital (inteiro positivo: n=1,2,3,\dots).
A energia de ionização (energia necessária para remover o elétron) é o módulo da energia do nível ligado, ou seja:
\mathrm{EI} = -E_n = \frac{13,6\\ \mathrm{eV}\cdot Z^{2}}{n^{2}}.
No caso do átomo de hidrogénio verdadeiro temos Z=1, logo a fórmula simplifica para:
\mathrm{EI_{H}}(n)=\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}}.
Dica prática (para prova): quando pedem “hidrogénio com elétron no mesmo orbital”, isto significa usar o mesmo n daquele orbital e Z=1 porque é um átomo de H com um único próton.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao orbital 5s ( n=5) para o átomo de hidrogénio ( Z=1).
Colocando n=5 e Z=1 em \mathrm{EI_{H}}(n)=\dfrac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}} obtemos:
\mathrm{EI_{H}}(n=5)=\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{5^{2}}=\frac{13,6\\ \mathrm{eV}}{25}.
Agora a conta:
\frac{13,6}{25}=0,544.
Portanto,
\mathrm{EI_{H\\ (5s)}}=0,544\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Relacionar este resultado com o que o enunciado pediu.
Como tanto o rubídio quanto a prata têm o elétron mais externo no orbital 5s (ou seja, mesmo n=5), o átomo de hidrogénio com seu elétron em 5s terá, para ambos os casos pedidos, a mesma energia de ionização:
\mathrm{EI_{H\\ analogous\\ to\\ Rb\\\ 5s}}=\mathrm{EI_{H\\ analogous\\ to\\ Ag\\\ 5s}}=0,544\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Discutir por que esse valor para o hidrogénio é muito diferente dos valores reais de Rb e Ag, e por que Rb e Ag têm valores diferentes entre si.
  1. Por que o \mathrm{EI} do H em 5s ( 0,544\\ \mathrm{eV}) é muito menor que \mathrm{EI_{Rb}}=4,18\\ \mathrm{eV} e \mathrm{EI_{Ag}}=7,57\\ \mathrm{eV}?
  • No hidrogénio há apenas um próton no núcleo ( Z=1) e nenhuma outra carga eletrónica para “ajudar” a prender o elétron além dessa carga nuclear; portanto o elétron está fracamente ligado em n=5.
  • Em átomos multieletrônicos (Rb, Ag) o núcleo tem carga muito maior ( +37 em Rb e +47 em Ag), e embora haja muitos elétrons internos que fazem “blindagem” (shielding), o elétron valente ainda sente uma carga nuclear efetiva Z_{\mathrm{eff}}>1. Isso aumenta muito a energia necessária para removê-lo em comparação com H.
  1. Por que Rb e Ag têm valores diferentes ( 4,18\\ \mathrm{eV} vs 7,57\\ \mathrm{eV}) apesar de ambos terem um elétron 5s?
  • A blindagem pelos elétrons internos não é igual: elétrons em orbitais mais internos (especialmente os elétrons d) não fazem uma blindagem perfeita do núcleo. No caso da prata a presença de um fecho 4d^{10} aumenta a atração efetiva sobre o elétron 5s (os elétrons d blindam menos), aumentando Z_{\mathrm{eff}} e logo a energia de ionização.
  • Além disso, à medida que o número atômico cresce, há efeitos de contração dos orbitais e, para elementos pesados como a prata, efeitos relativísticos leves que podem aproximar e ligar mais fortemente elétrons s e aumentar a \mathrm{EI}.
  • Interações eletrão-eletrão, configurações eletrónicas e energias de troca (estabilidade de subcamadas cheias, como d^{10}) influenciam a energia de retirada do elétron.
  1. Estimativa simples de carga nuclear efetiva Z_{\mathrm{eff}} usando o modelo hidrogenoide (apenas para dar intuição):
  • Partindo de \mathrm{EI}\approx \dfrac{13,6\\ \mathrm{eV}\cdot Z_{\mathrm{eff}}^{2}}{n^{2}}, isolamos Z_{\mathrm{eff}}:
Z_{\mathrm{eff}} = n\sqrt{\dfrac{\mathrm{EI}}{13,6\\ \mathrm{eV}}}.
Calcular para Rb ( n=5, \mathrm{EI}=4,18\\ \mathrm{eV}):
Z_{\mathrm{eff,Rb}} = 5\sqrt{\dfrac{4,18}{13,6}} \approx 5\sqrt{0,30735}\approx 5\cdot 0,5544\approx 2,77.
Calcular para Ag ( n=5, \mathrm{EI}=7,57\\ \mathrm{eV}):
Z_{\mathrm{eff,Ag}} = 5\sqrt{\dfrac{7,57}{13,6}} \approx 5\sqrt{0,5566}\approx 5\cdot 0,7461\approx 3,73.
Interpretação: o elétron 5s em Rb “vê” uma carga efetiva de cerca de +2,8, enquanto em Ag essa carga efetiva é maior, cerca de +3,7. Esses valores estão entre +1 (H) e o núcleo total, mostrando o papel importante da blindagem pelos elétrons internos. O fato de Z_{\mathrm{eff,Ag}}>Z_{\mathrm{eff,Rb}} explica por que a prata tem maior energia de ionização.
Dica para prova: usar o modelo hidrogenoide dá intuição e permite estimar Z_{\mathrm{eff}}, mas lembre que é uma aproximação grosseira — para questões quantitativas reais é preciso considerar efeitos de muitas partículas, energia de troca, correções relativísticas, etc.

Passo 6

Resumo final e encorajamento rápido:
  • O cálculo direto para o átomo de hidrogénio com elétron em 5s é simples e dá \mathrm{EI}=0,544\\ \mathrm{eV}.
  • Os valores reais para Rb e Ag são muito maiores porque o elétron valente nesses átomos sente uma carga nuclear efetiva maior devido à carga do núcleo e à blindagem não perfeita dos elétrons internos (e, no caso da prata, influência adicional dos elétrons d e efeitos relativísticos).
    Vai firme — essa linha de raciocínio (usar a fórmula hidrogenoide para estimativas e então interpretar diferenças por Z_{\mathrm{eff}}, blindagem e configuração eletrônica) é exatamente o que costumam pedir em provas.

Resposta

Para Rb (orbital 5s): \mathrm{EI_{H}}=0,544\\ \mathrm{eV}
Para Ag (orbital 5s): \mathrm{EI_{H}}=0,544\\ \mathrm{eV}

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