De acordo com a Lei de Boyle, se a temperatura de um gás confinado for mantida constante, então o produto da pressão P pelo volume V é uma constante. Suponha que, para um certo gás, P V=4000, P é medido em pascals e V é medido em litros.
Expresse V como uma função de P e mostre que a taxa de variação instantânea de V em relação a P é inversamente proporcional ao quadrado de P.

Passo 1

O enunciado usa a Lei de Boyle, que diz que para temperatura constante o produto da pressão pelo volume é constante: aqui temos
PV=4000. Precisamos reescrever V como função de P e depois achar a taxa de variação instantânea dV/dP.

Passo 2

Isolando V na relação PV=4000, dividimos ambos os lados por P para obter V em função de P:
V§=4000/P.

Passo 3

Para calcular a taxa de variação instantânea de V em relação a P, aplicamos a regra de derivação de potências. Note que V§=4000·P^(−1), e a derivada de P^n é n·P^(n−1).

Passo 4

Aplicando a regra, temos dV/dP = 4000·(−1)·P^(−2) = −4000/P^2. Isso mostra que dV/dP é uma constante vezes 1/P^2, ou seja, inversamente proporcional ao quadrado de P.

Resposta

A função volume em função da pressão é:
V(P) = 4000P
A derivada, ou taxa de variação instantânea de V em relação a P, é:
dVdP = -4000P^2
Portanto, dVdP é inversamente proporcional ao quadrado de P.

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