De acordo com a Lei de Boyle, se a temperatura de um gás confinado for mantida constante, então o produto da pressão
pelo volume
é uma constante. Suponha que, para um certo gás,
,
é medido em pascals e
é medido em litros.
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como uma função de
e mostre que a taxa de variação instantânea de
em relação a
é inversamente proporcional ao quadrado de
.
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Passo 1
O enunciado usa a Lei de Boyle, que diz que para temperatura constante o produto da pressão pelo volume é constante: aqui temos
PV=4000. Precisamos reescrever V como função de P e depois achar a taxa de variação instantânea dV/dP.
PV=4000. Precisamos reescrever V como função de P e depois achar a taxa de variação instantânea dV/dP.
Passo 2
Isolando V na relação PV=4000, dividimos ambos os lados por P para obter V em função de P:
V§=4000/P.
V§=4000/P.
Passo 3
Para calcular a taxa de variação instantânea de V em relação a P, aplicamos a regra de derivação de potências. Note que V§=4000·P^(−1), e a derivada de P^n é n·P^(n−1).
Passo 4
Aplicando a regra, temos dV/dP = 4000·(−1)·P^(−2) = −4000/P^2. Isso mostra que dV/dP é uma constante vezes 1/P^2, ou seja, inversamente proporcional ao quadrado de P.
Resposta
A função volume em função da pressão é:
A derivada, ou taxa de variação instantânea de V em relação a P, é:
Portanto,
é inversamente proporcional ao quadrado de
.