Encontre uma representação em serie de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
© f(x)=x4 x+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries geométricas e como manipulá-las.

Passo 2

Vamos começar a manipular a função f(x) = x4x + 1 = x1 + 4x para colocá-la em uma forma que se assemelhe a uma série geométrica. Primeiro, fatoramos o denominador:

Passo 3

Agora, queremos expressar 11 - r = sumn=0^infty r^n para |r| < 1 em uma forma que possamos expandir em série de potências. Lembrando que a série geométrica básica é:
11 + 4x = 11 - (-4x)
Para adaptar isso à nossa função, reescrevemos como , ou seja:

Passo 4

Agora que temos a função na forma 11 - (-4x) = sumn=0^infty (-4x)^n = sumn=0^infty (-1)^n (4x)^n , onde , podemos expandi-la em uma série geométrica:

Passo 5

Voltando à nossa função original f(x) = x cdot sumn=0^infty (-4x)^n = sumn=0^infty (-4)^n x^n+1 , substituímos a série que encontramos:
f(x) = sumn=1^infty (-4)^n-1 x^n
Podemos reescrever isso ajustando o índice da soma para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando | -4x | < 1 implies 4|x| < 1 implies |x| < 14 . No nosso caso, - 14 < x < 14 , então:
Portanto, a série converge para:

Resposta

A representação em série de potências para f(x) = sumn=1^infty (-4)^n-1 x^n é:
- 14 < x < 14
E o intervalo de convergência é:

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