Encontre uma representação em serie de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar uma representação em série de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries geométricas e como manipulá-las.
Passo 2
Vamos começar a manipular a função
para colocá-la em uma forma que se assemelhe a uma série geométrica. Primeiro, fatoramos o denominador:
Passo 3
Agora, queremos expressar
em uma forma que possamos expandir em série de potências. Lembrando que a série geométrica básica é:
Para adaptar isso à nossa função, reescrevemos
como
, ou seja:
Passo 4
Agora que temos a função na forma
, onde
, podemos expandi-la em uma série geométrica:
Passo 5
Voltando à nossa função original
, substituímos a série que encontramos:
Podemos reescrever isso ajustando o índice da soma para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando
. No nosso caso,
, então:
Portanto, a série converge para:
Resposta
A representação em série de potências para
é:
E o intervalo de convergência é: