A função C(t)=K(e^-a t-e^-b t), onde a, b e K são constantes positivas e b>a, é usada para modelar a concentração de uma droga injetada na corrente sanguínea no instante t.
Encontre C^prime(t), a taxa segundo a qual a droga é eliminada da circulação.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a taxa de variação de C(t)=K(\mathrm{e}^{-a t}-\mathrm{e}^{-b t}), ou seja, calcular C′(t) usando cálculo diferencial e a regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar uma exponencial do tipo \mathrm{e}^{u(t)}, aplicamos a fórmula: a derivada é \mathrm{e}^{u(t)}·u′(t). Aqui temos u(t)=-a t e u(t)=-b t, cujas derivadas são u′(t)=-a e u′(t)=-b, respectivamente.

Passo 3

Derivando termo a termo: o primeiro termo K\mathrm{e}^{-a t} rende K·(-a\mathrm{e}^{-a t}) = -aK\mathrm{e}^{-a t}. O segundo termo -K\mathrm{e}^{-b t} rende -K·(-b\mathrm{e}^{-b t}) = bK\mathrm{e}^{-b t}.

Passo 4

Somando as contribuições, obtemos C′(t) = -aK\mathrm{e}^{-a t} + bK\mathrm{e}^{-b t}. Podemos reorganizar como C′(t)=K\bigl(b\mathrm{e}^{-b t}-a\mathrm{e}^{-a t}\bigr).

Resposta

C'(t)=Kl(-ae^-a t+be^-b tr)

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