de acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado e se P newtons os por metro quadrado for a pressão, V metros cúbicos for o volume e T graus para temperatura, temos a fórmula P V=R T, onde R é uma constante de proporcionalidade. Suponha que o volume de um certo gás em um recipiente seja 100 m^3 e que a temperatura seja 90^circ e R=8.
c) Ache a taxa de variação de V por unidade de variação de P se T permanece fixo em 90^circ C

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão ( P), volume ( V) e temperatura ( T) de um gás pela fórmula:
P V = R T
Aqui, R é uma constante de proporcionalidade. No exercício, sabemos que:
  • Volume, V = 100, m^3
  • Temperatura, T = 90^circC
  • Constante, R = 8
A parte © da questão quer saber como o volume ( V) varia em relação à pressão ( P) quando a temperatura ( T) está fixa em 90^circC. Ou seja, precisamos encontrar a taxa de variação de V em relação a P, representada por dVdP.

Passo 2

Como a temperatura está fixa, vamos tratar T como uma constante. Então, podemos reescrever a fórmula da Lei dos Gases Ideais assim:
P V = R T
Como R e T são constantes, o produto R T também é uma constante. Vamos chamar essa constante de K:
P V = K
Onde:
K = R T

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar dVdP, ou seja, como o volume muda quando a pressão muda, mantendo a temperatura constante. Primeiro, vamos isolar V na equação:
V = KP
Agora, para encontrar a taxa de variação de V em relação a P, derivamos ambos os lados da equação em relação a P:
dVdP = ddP ( KP )

Passo 4

Vamos lembrar de uma regra básica de cálculo para derivadas: a derivada de 1P em relação a P é -1P^2. Aplicando isso:
dVdP = -KP^2
Substituindo K por R T:
dVdP = -R TP^2

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos para R e T:
  • R = 8
  • T = 90^circC
Portanto:
dVdP = -8 times 90P^2 = -720P^2

Resposta

A taxa de variação de V em relação a P, mantendo a temperatura fixa em 90^circC, é:
dVdP = -720P^2

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