de acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado e se
newtons os por metro quadrado for a pressão, V metros cúbicos for o volume e T graus para temperatura, temos a fórmula
, onde R é uma constante de proporcionalidade. Suponha que o volume de um certo gás em um recipiente seja
e que a temperatura seja
e
.
c) Ache a taxa de variação de
por unidade de variação de
se
permanece fixo em
c) Ache a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão (
), volume (
) e temperatura (
) de um gás pela fórmula:
Aqui,
é uma constante de proporcionalidade. No exercício, sabemos que:
- Volume,
- Temperatura,
- Constante,
A parte © da questão quer saber como o volume (
) varia em relação à pressão (
) quando a temperatura (
) está fixa em
. Ou seja, precisamos encontrar a taxa de variação de
em relação a
, representada por
.
Passo 2
Como a temperatura está fixa, vamos tratar
como uma constante. Então, podemos reescrever a fórmula da Lei dos Gases Ideais assim:
Como
e
são constantes, o produto
também é uma constante. Vamos chamar essa constante de
:
Onde:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
, ou seja, como o volume muda quando a pressão muda, mantendo a temperatura constante. Primeiro, vamos isolar
na equação:
Agora, para encontrar a taxa de variação de
em relação a
, derivamos ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 4
Vamos lembrar de uma regra básica de cálculo para derivadas: a derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Substituindo
por
:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos para
e
:
Portanto:
Resposta
A taxa de variação de
em relação a
, mantendo a temperatura fixa em
, é: