Encontre o diferencial total de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ z $ que depende de $ x $ e $ y $:
Queremos encontrar o diferencial total de $ z $, ou seja, $ dz $. Para isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, mantendo $ y $ constante. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante durante a derivação.
Derivando cada termo em relação a $ x $:
- A derivada de $ x^{6} y^{2} $ em relação a $ x $ é $ 6x^{5} y^{2} $.
- A derivada de $ 9 x^{3} y^{3} $ em relação a $ x $ é $ 27x^{2} y^{3} $.
- A derivada de $ 10 x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 20x $.
- Os termos $ 10 y $ e $ 12 $ não dependem de $ x $, então sua derivada é zero.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, mantendo $ x $ constante.
Derivando cada termo em relação a $ y $:
- A derivada de $ x^{6} y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2x^{6} y $.
- A derivada de $ 9 x^{3} y^{3} $ em relação a $ y $ é $ 27x^{3} y^{2} $.
- O termo $ 10 x^{2} $ não depende de $ y $, então sua derivada é zero.
- A derivada de $ 10 y $ em relação a $ y $ é $ 10 $.
- A constante $ 12 $ tem derivada zero.
Então, temos:
Passo 4
O diferencial total $ dz $ é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas variações correspondentes de $ x $ e $ y $:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Resposta
O diferencial total de $ z $ é: