Encontre o diferencial total de z=x^6 y^2+9 x^3 y^3+10 x^2+10 y+12

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ z $ que depende de $ x $ e $ y $:
z
Queremos encontrar o diferencial total de $ z $, ou seja, $ dz $. Para isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, mantendo $ y $ constante. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante durante a derivação.
Derivando cada termo em relação a $ x $:
  • A derivada de $ x^{6} y^{2} $ em relação a $ x $ é $ 6x^{5} y^{2} $.
  • A derivada de $ 9 x^{3} y^{3} $ em relação a $ x $ é $ 27x^{2} y^{3} $.
  • A derivada de $ 10 x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 20x $.
  • Os termos $ 10 y $ e $ 12 $ não dependem de $ x $, então sua derivada é zero.
Então, temos:
z

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, mantendo $ x $ constante.
Derivando cada termo em relação a $ y $:
  • A derivada de $ x^{6} y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2x^{6} y $.
  • A derivada de $ 9 x^{3} y^{3} $ em relação a $ y $ é $ 27x^{3} y^{2} $.
  • O termo $ 10 x^{2} $ não depende de $ y $, então sua derivada é zero.
  • A derivada de $ 10 y $ em relação a $ y $ é $ 10 $.
  • A constante $ 12 $ tem derivada zero.
Então, temos:
z

Passo 4

O diferencial total $ dz $ é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas variações correspondentes de $ x $ e $ y $:
dz
Substituindo as derivadas que encontramos:
x

Resposta

O diferencial total de $ z $ é:
z

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