A função C(t)=K(e^-a t-e^-b t), onde a, b e K são constantes positivas e b>a, é usada para modelar a concentração de uma droga injetada na corrente sanguínea no instante t.
Quando essa taxa é igual a zero?

Passo 1

O enunciado dá a função de concentração C(t)=Kl(e^-a t-e^-b tr), com a,b,K>0 e b>a, e pede para achar quando a taxa de variação C'(t) é zero. Vamos usar conceitos de derivada para encontrar o ponto crítico.

Passo 2

A derivada de C(t) em relação a t é
C'(t)=Kl(-a e^-a t+b e^-b tr)

Passo 3

Para encontrar o instante em que essa taxa é zero, igualamos C'(t)=0 e cancelamos K (que é diferente de zero):
-a e^-a t+b e^-b t=0

Passo 4

Reescrevendo a igualdade, temos
b e^-b t=a e^-a t

Passo 5

Dividindo ambos os lados por e^-a t e isolando o termo exponencial:
e^-(b-a)t=ab

Passo 6

Invertendo o sinal do expoente e aplicando logaritmo natural para resolver para t:
(b-a)t=lnl(tfracbar)

Passo 7

Portanto, o instante em que C'(t)=0 é
t=1b-alnl(tfracbar)

Resposta

t=dfrac1b-alnl(tfracbar)

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