De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão, a temperatura e o volume de um gás estão relacionados por P=k T / V, onde k é uma constante de proporcionalidade. Suponha que V seja medido em polegadas cúbicas ( \mathrm{pol}^{3} ), T seja medido em kelvins (K) e que para um certo gás a constante de proporcionalidade seja k=10 \mathrm{pol} \cdot \mathrm{lb} / \mathrm{K}.
Determine a taxa de variação instantânea da pressão em relação à temperatura se a temperatura for 80 K e o volume permanecer constante em 50 \mathrm{pol}^{3}.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • A relação entre pressão, temperatura e volume é P=\dfrac{k\,T}{V}.
  • A constante de proporcionalidade é k=10\\ \mathrm{pol}\cdot\mathrm{lb}/\mathrm{K}.
  • A temperatura no ponto de interesse é T=80\\ \mathrm{K}.
  • O volume permanece constante em V=50\\ \mathrm{pol}^3.
O enunciado pede a taxa de variação instantânea da pressão em relação à temperatura, isto é, \dfrac{dP}{dT}, avaliada quando T=80\\ \mathrm{K} e V=50\\ \mathrm{pol}^3. Observação: o volume é constante durante a variação.

Passo 2

Entendendo a fórmula e as unidades:
  • P é a pressão (unidade resultante será discutida abaixo).
  • T é a temperatura em kelvins ( \mathrm{K}).
  • V é o volume em polegadas cúbicas ( \mathrm{pol}^3).
  • k tem unidade \mathrm{pol}\cdot\mathrm{lb}/\mathrm{K} conforme dado.
Reescrevendo a fórmula de forma útil para derivar, como k e V são constantes:
P=\frac{k}{V}\,T.
Isso mostra que P é uma função linear de T com coeficiente \dfrac{k}{V}.

Passo 3

Regra de diferenciação que vamos usar (explicada): a derivada de uma função linear f(T)=c\,T, onde c é constante, é simplesmente f'(T)=c. Em outras palavras,
\frac{d}{dT}\big(c\,T\big)=c.
Aqui o coeficiente é c=\dfrac{k}{V}, que é constante porque k e V são constantes no problema.

Passo 4

Calcular a derivada simbólica e substituir os valores:
\frac{dP}{dT}=\frac{k}{V}.
Agora substituo k=10 e V=50:
\frac{dP}{dT}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}=0,2.

Passo 5

Determinar as unidades de \dfrac{dP}{dT}. Como \dfrac{dP}{dT}=\dfrac{k}{V}, usa-se as unidades de k divididas pelas de V:
  • Unidade de k: \mathrm{pol}\cdot\mathrm{lb}/\mathrm{K}.
  • Unidade de V: \mathrm{pol}^3.
    Fazendo a divisão:
\frac{\mathrm{pol}\cdot\mathrm{lb}/\mathrm{K}}{\mathrm{pol}^3}=\frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{pol}^2\cdot\mathrm{K}}.
Portanto a taxa tem unidade \mathrm{lb}/(\mathrm{pol}^2\cdot\mathrm{K}).

Passo 6

Interpretação final e observação útil para a prova: o valor numérico \dfrac{dP}{dT}=0,2 não depende de T porque a relação é linear em T. Assim, no ponto pedido ( T=80\\ \mathrm{K}, V=50\\ \mathrm{pol}^3) a pressão aumenta 0,2\\ \mathrm{lb}/(\mathrm{pol}^2) para cada aumento de 1\\ \mathrm{K}. É uma conta rápida que vale a pena decorar: quando V é constante, derivar P=kT/V k/V.

Resposta

\displaystyle \frac{dP}{dT}=0,2\\ \mathrm{lb}/(\mathrm{pol}^2\cdot\mathrm{K})

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