De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão, a temperatura e o volume de um gás estão relacionados por
, onde
é uma constante de proporcionalidade. Suponha que
seja medido em polegadas cúbicas (
),
seja medido em kelvins (K) e que para um certo gás a constante de proporcionalidade seja
.
Determine a taxa de variação instantânea da pressão em relação à temperatura se a temperatura for 80 K e o volume permanecer constante em
.
Determine a taxa de variação instantânea da pressão em relação à temperatura se a temperatura for 80 K e o volume permanecer constante em
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados fornecidos:
- A relação entre pressão, temperatura e volume é
. - A constante de proporcionalidade é
. - A temperatura no ponto de interesse é
. - O volume permanece constante em
.
O enunciado pede a taxa de variação instantânea da pressão em relação à temperatura, isto é,
, avaliada quando
e
. Observação: o volume é constante durante a variação.
Passo 2
Entendendo a fórmula e as unidades:
-
é a pressão (unidade resultante será discutida abaixo). -
é a temperatura em kelvins ( ). -
é o volume em polegadas cúbicas ( ). -
tem unidade conforme dado.
Reescrevendo a fórmula de forma útil para derivar, como
e
são constantes:
Isso mostra que
é uma função linear de
com coeficiente
.
Passo 3
Regra de diferenciação que vamos usar (explicada): a derivada de uma função linear
, onde
é constante, é simplesmente
. Em outras palavras,
Aqui o coeficiente é
, que é constante porque
e
são constantes no problema.
Passo 4
Calcular a derivada simbólica e substituir os valores:
Agora substituo
e
:
Passo 5
Determinar as unidades de
. Como
, usa-se as unidades de
divididas pelas de
:
- Unidade de
: . - Unidade de
: .
Fazendo a divisão:
Portanto a taxa tem unidade
.
Passo 6
Interpretação final e observação útil para a prova: o valor numérico
não depende de
porque a relação é linear em
. Assim, no ponto pedido (
,
) a pressão aumenta
para cada aumento de
. É uma conta rápida que vale a pena decorar: quando
é constante, derivar
dá
.