De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão, a temperatura e o volume de um gás estão relacionados por
, onde
é uma constante de proporcionalidade. Suponha que
seja medido em polegadas cúbicas (
),
seja medido em kelvins (K) e que para um certo gás a constante de proporcionalidade seja
.
Determine a taxa de variação instantânea do volume em relação à pressão se a pressão for
e a temperatura permanecer constante em 80 K.
Determine a taxa de variação instantânea do volume em relação à pressão se a pressão for
Passo 1
O enunciado dá a relação entre pressão, temperatura e volume
e fornece as seguintes informações:
- a constante de proporcionalidade é
; - a temperatura permanece constante em
; - a pressão no qual queremos avaliar a taxa é
.
O que o problema pede: determinar a taxa de variação instantânea do volume em relação à pressão, isto é calcular
avaliado em
com
constante.
Passo 2
Isolar
em função de
e
. A partir de
multiplica-se ambos os lados por
e divide-se por
para obter
Isto mostra
como uma função explícita de
quando
e
são constantes.
Passo 3
Escrever
numa forma conveniente para derivar. Colocando a dependência de
em potência:
Aqui
e
são constantes (porque
é mantida constante pelo enunciado), e
indica que
é proporcional a
com expoente
.
Usar a regra do poder (power rule) para derivar: se
então
. Aplicando com
temos
. Como
é fator constante, pela regra do produto (ou regra da constante) temos
Passo 4
Substituir os valores numéricos dados:
Portanto
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Logo o valor numérico é
.
Passo 5
Verificação das unidades. A unidade de
é
. Multiplicando por
(em K) obtém-se
. Dividindo por
, cuja unidade é
, resulta em
Essa é a unidade correta para
aqui (volume por pressão):
dividido por
dá
.
Passo 6
Interpretação final: o sinal negativo indica que, com a temperatura fixa, um aumento da pressão causa uma diminuição instantânea do volume (isso é exatamente a ideia física da lei dos gases). Respira fundo — problema resolvido!