De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão, a temperatura e o volume de um gás estão relacionados por P=k T / V, onde k é uma constante de proporcionalidade. Suponha que V seja medido em polegadas cúbicas ( \mathrm{pol}^{3} ), T seja medido em kelvins (K) e que para um certo gás a constante de proporcionalidade seja k=10 \mathrm{pol} \cdot \mathrm{lb} / \mathrm{K}.
Determine a taxa de variação instantânea do volume em relação à pressão se a pressão for 16 \mathrm{lb} / \mathrm{pol}^{2} e a temperatura permanecer constante em 80 K.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre pressão, temperatura e volume
P = \frac{k\,T}{V},
e fornece as seguintes informações:
  • a constante de proporcionalidade é k = 10\\ \mathrm{pol}\cdot\mathrm{lb}/\mathrm{K};
  • a temperatura permanece constante em T = 80\\ \mathrm{K};
  • a pressão no qual queremos avaliar a taxa é P = 16\\ \mathrm{lb}/\mathrm{pol}^2.
O que o problema pede: determinar a taxa de variação instantânea do volume em relação à pressão, isto é calcular \dfrac{dV}{dP} avaliado em P=16\\ \mathrm{lb}/\mathrm{pol}^2 com T constante.

Passo 2

Isolar V em função de P e T. A partir de
P = \frac{k\,T}{V}
multiplica-se ambos os lados por V e divide-se por P para obter
V = \frac{k\,T}{P}.
Isto mostra V como uma função explícita de P quando T e k são constantes.

Passo 3

Escrever V numa forma conveniente para derivar. Colocando a dependência de P em potência:
V = k\,T\,P^{-1}.
Aqui k e T são constantes (porque T é mantida constante pelo enunciado), e P^{-1} indica que V é proporcional a P com expoente -1.
Usar a regra do poder (power rule) para derivar: se f(P)=P^{n} então f'(P)=nP^{n-1}. Aplicando com n=-1 temos \dfrac{d}{dP}P^{-1}=-P^{-2}. Como kT é fator constante, pela regra do produto (ou regra da constante) temos
\frac{dV}{dP} = k\,T\cdot\frac{d}{dP}\bigl(P^{-1}\bigr) = k\,T\cdot\bigl(-P^{-2}\bigr) = -\frac{k\,T}{P^{2}}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos dados:
k\,T = 10\cdot 80 = 800, \qquad P^{2} = 16^{2} = 256.
Portanto
\frac{dV}{dP} = -\frac{800}{256}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 16:
\frac{800}{256}=\frac{50}{16}=\frac{25}{8}=3{,}125.
Logo o valor numérico é -\dfrac{25}{8} = -3{,}125.

Passo 5

Verificação das unidades. A unidade de k é \mathrm{pol}\cdot\mathrm{lb}/\mathrm{K}. Multiplicando por T (em K) obtém-se \mathrm{pol}\cdot\mathrm{lb}. Dividindo por P^{2}, cuja unidade é (\mathrm{lb}/\mathrm{pol}^{2})^{2}=\mathrm{lb}^{2}/\mathrm{pol}^{4}, resulta em
\frac{\mathrm{pol}\cdot\mathrm{lb}}{\mathrm{lb}^{2}/\mathrm{pol}^{4}}=\frac{\mathrm{pol}^{5}}{\mathrm{lb}}.
Essa é a unidade correta para \dfrac{dV}{dP} aqui (volume por pressão): \mathrm{pol}^{3} dividido por \mathrm{lb}/\mathrm{pol}^{2} \mathrm{pol}^{5}/\mathrm{lb}.

Passo 6

Interpretação final: o sinal negativo indica que, com a temperatura fixa, um aumento da pressão causa uma diminuição instantânea do volume (isso é exatamente a ideia física da lei dos gases). Respira fundo — problema resolvido!

Resposta

\displaystyle -\frac{25}{8}\\ \mathrm{pol}^{5}/\mathrm{lb}

Exercícios relacionados